一、BST定义和性质

二、二叉搜索树中第K小的元素

三、把二叉搜索树转换为累加树

四、合法二叉搜索树

五、二叉搜索树中的搜索

六、二叉搜索树中的插入操作

七、在 BST 中删除一个数

八、不同的二叉搜索树

九、不同的二叉搜索树 II

一、BST定义和性质

定义：BST是一棵空树，或者具有以下性质的二叉树：

性质：

若它的左子树不空，则左子树的所有节点值都小于根节点的值
若它的右子树不空，则右子树的所有节点值都大于根节点的值
左子树和右子树都是二叉搜索树

备注：BST中序遍历是升序序列

根据以上性质，下面介绍相关BST题型

二、二叉搜索树中第K小的元素

题目：给定一个二叉搜索树的根节点 root ，和一个整数 k ，请你设计一个算法查找其中第 k 个最小元素（从 1 开始计数）。

示例 1：

输入：root = [3,1,4,null,2], k = 1
输出：1
示例 2：

输入：root = [5,3,6,2,4,null,null,1], k = 3
输出：3

分析：

根据BST中序遍历为升序序列，则该题进行中序遍历，遍历到第K个节点即可

示例代码：

int nRet = 0;
int nIndex = 0;
void help(TreeNode* root,int k)
{if (root == nullptr){return ;}if (root->left != nullptr){help(root->left,k);}nIndex++;if (k == nIndex){nRet = root->val;return ;}// vecNum.push_back(root->val);if (root->right != nullptr){help(root->right,k);}
}
int kthSmallest(TreeNode* root, int k) {help(root,k);return nRet;
}

三、把二叉搜索树转换为累加树

题目：给出二叉搜索树的根节点，该树的节点值各不相同，请你将其转换为累加树（Greater Sum Tree），使每个节点 node 的新值等于原树中大于或等于 node.val 的值之和。

示例 1：

输入：[4,1,6,0,2,5,7,null,null,null,3,null,null,null,8]
输出：[30,36,21,36,35,26,15,null,null,null,33,null,null,null,8]
示例 2：

输入：root = [0,null,1]
输出：[1,null,1]
示例 3：

输入：root = [1,0,2]
输出：[3,3,2]
示例 4：

输入：root = [3,2,4,1]
输出：[7,9,4,10]

分析：

虽然BST中序遍历是升序序列，但是当前节点的父节点也比本身大，并且获取不到父节点
所以我们还是根据中序遍历的性质，先遍历右子树，在遍历左子树，成为降序序列

示例代码：

TreeNode* convertBST(TreeNode* root) {help(root);return root;
}
int nSum = 0;
void help(TreeNode* root)
{if (root == nullptr){return;}help(root->right);nSum += root->val;root->val = nSum;help(root->left);
}

四、合法二叉搜索树

题目：实现一个函数，检查一棵二叉树是否为二叉搜索树。

示例 1:
输入:
2
/ \
1 3
输出: true
示例 2:
输入:
5
/ \
1 4
   / \
   3 6
输出: false
解释: 输入为: [5,1,4,null,null,3,6]。
   根节点的值为 5 ，但是其右子节点值为 4

分析：

根据BST左子树大于右子树性质，我们很容易写出如下代码：

boolean isValidBST(TreeNode root) {
    if (root == null) return true;
    if (root.left != null && root.val <= root.left.val)
        return false;
    if (root.right != null && root.val >= root.right.val)
        return false;
    return isValidBST(root.left)
        && isValidBST(root.right);
}

但是看如图：

符合上面的代码，缺不是一棵二叉搜索树，因为我们只检查了该节点的左右子节点，但是BST性质是左右子树。

我们可以增加两个变量，存储最大值和最小值节点

示例代码：

bool isValidBST(TreeNode* root) {return help(root,nullptr,nullptr);
}
bool help(TreeNode* root,TreeNode* max,TreeNode* min)
{if (root == nullptr){return true;}if (max != nullptr && root->val >= max->val){return false;}if (min != nullptr && root->val <= min->val){return false;}return help(root->right,max,root) && help(root->left,root,min);
}

五、二叉搜索树中的搜索

题目：给定二叉搜索树（BST）的根节点和一个值。你需要在BST中找到节点值等于给定值的节点。返回以该节点为根的子树。如果节点不存在，则返回 NULL。

例如，

给定二叉搜索树:

4
/ \
2 7
/ \
1 3

和值: 2
你应该返回如下子树:

2
/ \
1 3

分析：

根据BST性质，如果root->val == val则返回root
如果root->val > val，则遍历左子树
如果root->val < val，则遍历右子树

示例代码：

TreeNode* searchBST(TreeNode* root, int val) {return help(root,val);
}
TreeNode * help(TreeNode* root, int val)
{if (root == nullptr){return nullptr;}if (root->val == val){return root;}else if (root->val > val){return help(root->left,val);}else if (root->val < val){return help(root->right,val);}return nullptr;
}

六、二叉搜索树中的插入操作

题目：给定二叉搜索树（BST）的根节点和要插入树中的值，将值插入二叉搜索树。返回插入后二叉搜索树的根节点。输入数据保证，新值和原始二叉搜索树中的任意节点值都不同。

注意，可能存在多种有效的插入方式，只要树在插入后仍保持为二叉搜索树即可。你可以返回任意有效的结果。

示例 1：

输入：root = [4,2,7,1,3], val = 5
输出：[4,2,7,1,3,5]
解释：另一个满足题目要求可以通过的树是：

示例 2：

输入：root = [40,20,60,10,30,50,70], val = 25
输出：[40,20,60,10,30,50,70,null,null,25]
示例 3：

输入：root = [4,2,7,1,3,null,null,null,null,null,null], val = 5
输出：[4,2,7,1,3,5]

分析：

示例代码：

TreeNode* insertIntoBST(TreeNode* root, int val) {return help(root,val);
}
TreeNode * help(TreeNode* root, int val)
{if (root == nullptr){root = new TreeNode(val);}if (root->val > val){root->left = help(root->left,val);}else if(root->val < val){root->right = help(root->right,val);}return root;
}

七、在 BST 中删除一个数

题目：给定一个BST和一个目标数，将该节点删除。

例如：

分析：

根据BST性质，很容易找到要删除的节点A
删除节点A分如下三种情况讨论

A的左右节点都为空，如题示例，则：
if (root.left == null && root.right == null) return null;
A只有一个非空子节点，那么要让这个孩子节点接替自己位置，如图：if (root.left == null) return root.right;
if (root.right == null) return root.left;
A有两个非空子节点，为了不破坏BST性质，A必须找到左子树中最大的那个节点，或者右子树最小的那个节点接替自己位置，如图：

if (root.left != null && root.right != null) {//以找右子树最小值为例
              // 找到右子树的最小节点
         TreeNode minNode = getMin(root.right);
         // 把 root 改成 minNode
         root.val = minNode.val;
         // 转而去删除 minNode
         root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
        }

示例代码：

TreeNode* deleteNode(TreeNode *root, int key) {if (root == nullptr){return nullptr;}if (root->val == key) {// 这两个 if 把情况 1 和 2 都正确处理了if (root->left == nullptr){return root->right;}if (root->right == nullptr){return root->left;}// 处理情况 3TreeNode* minNode = getMin(root->right);root->val = minNode->val;root->right = deleteNode(root->right, minNode->val);}else if (root->val > key){root->left = deleteNode(root->left, key);}else if (root->val < key){root->right = deleteNode(root->right, key);}return root;
}TreeNode* getMin(TreeNode* node) {// BST 最左边的就是最小的while (node->left != nullptr){node = node->left;}return node;
}

八、不同的二叉搜索树

题目：给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的二叉搜索树有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5
示例 2：

输入：n = 1
输出：1

分析：

根节点可以有n种选择
比如n = 5，选择3为根节点，则{1,2}就是左子树组合，{4,5}就是右子树组合
左右子树组合乘积就是以3为根节点的BST种数

示例代码：

//备忘录消除一下重复子项
int numTrees(int n) {vector<vector<int>> memo(n + 1, vector<int>(n + 1,0));return help(1,n,memo);
}
int help(int nLow, int nHeight,vector<vector<int>> &memo)
{if (nLow > nHeight){return 1;}if (memo[nLow][nHeight] != 0){return memo[nLow][nHeight];}int ret = 0;for (int i = nLow; i <= nHeight; i++){//以i为根节点int nLeft = help(nLow, i - 1,memo);int nRight = help(i + 1, nHeight,memo);ret += nLeft * nRight;}memo[nLow][nHeight] = ret;return ret;
}

九、不同的二叉搜索树 II

题目：给你一个整数 n ，请你生成并返回所有由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的不同二叉搜索树。可以按任意顺序返回答案。

示例 1：

输入：n = 3
输出：[[1,null,2,null,3],[1,null,3,2],[2,1,3],[3,1,null,null,2],[3,2,null,1]]
示例 2：

输入：n = 1
输出：[[1]]

分析：

根据例题8的解析，可知道BST总数
只是需要保存一下每个节点信息

示例代码：

vector<TreeNode*> generateTrees(int n) {return help(1,n);
}
vector<TreeNode *> help(int nLow, int nHeight)
{vector<TreeNode *> ret;if (nLow > nHeight){ret.push_back(nullptr);return ret;}for (int i = nLow; i <= nHeight; i++){vector<TreeNode *> left = help(nLow, i - 1);vector<TreeNode *> right = help(i + 1, nHeight);for (auto & leftNode : left){for (auto &rightNode : right){TreeNode *root = new TreeNode(i);root->left = leftNode;root->right = rightNode;ret.push_back(root);}}}return ret;
}

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