Dijkstra算法详解

什么是Dijkstra算法

迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。

Dijkstra是求单源最短路问题的经典算法，单源最短路一般来说是求一个点到其他点的最短距离，最常见的一种题型是求1号点到n号点的最短距离。

而单源最短路又分为两种，一种是边权全为正(正权值)，另一种是存在负权边。Dijkstra 用来解决边权全为正的单源最短路问题，Dijkstra算法又分为朴素Dijkstra算法和堆优化的Dijkstra算法。朴素版的Dijkstra算法的时间复杂度是O(n²),适合于稠密图，堆优化版的Dijkstra算法的时间复杂度是O(mlogn)，适合于稀疏图。

解决存在负权边的单源最短路的算法又分为两种，一个是Bellman-Ford，一个是SPFA， SPFA是Bellman-Ford算法的优化。

朴素版Dijkstra算法思路

先初始化距离，1号点到起点的距离是0，其他点到起点的距离是无穷大
第二步是一个迭代的过程，循环n次，找到没有确定最短距离且距离起点最近的点，用这个点更新其他点的距离，这个点同时也确定了最短距离。循环n次就可以确定n个点到起点的距离了

举个栗子

以这个为例，一共三个点，绿色的数字表示点与点之间的距离，1号点到2号点的距离是2，2号点到3号点的距离是1，1号点到3号点的距离是4，红色数字表示每个点到起点的距离。

按照朴素版Dijkstra算法的步骤，首先要初始化距离，1号点到起点的距离是0，其他点到起点的距离是正无穷

然后我们就要循环3次，确定每个点到起点的距离

第一次循环

第一次循环明显是1号点距离起点最近，所以我们用这个点更新一下和它相连的点距离起点的距离，也就是2,3号点，更新之后2号点距离起点的距离是2,3号点距离起点的距离是4

第二次循环

第二次循环发现是2号点距离起点最近，用2号点更新一下和它相连的点距离起点的距离，也就是3号点。3号点距离起点的距离在第一次循环时更新为4，这次我们用2号点更新时可以发现，3号点距离起点的距离可以更新为3，也就1->2->3 的路线的距离小于1->4的路线，所以把3号点距离起点的距离改为3

第三次循环

第三次循环只剩一个点3了，这个点可以确定最短距离是3，至此循环结束，所有的点距离起点的最短距离也就确定了

朴素版Dijkstra存储

上面说了朴素版Dijkstra算法适用于稠密图，稠密图用邻接矩阵来存

案例-Dijkstra求最短路1

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。

请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 nn 号点，则输出 −1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 m。

接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

输出格式

输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离。

如果路径不存在，则输出 −1。

数据范围

1≤n≤500,
1≤m≤1e5,
图中涉及边长均不超过10000。

输入样例：
3 3
1 2 2
2 3 1
1 3 4
输出样例：
3

代码实现

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=515;
int dist[N];//每个点距离起点的距离
int g[N][N];//邻接矩阵
int n,m;
bool st[N];//存储已经确定最短路径的点
int dijkstra()
{//初始化每个点到起点的距离memset(dist,0x3f,sizeof dist);//1号点到起点的距离为0dist[1]=0;//循环n次确定n个点到起点的最短距离for(int i=0;i<n;i++){//每次循环用t来存没有确定最短距离且距离起点最近的点int t=-1;for(int j=1;j<=n;j++){if(!st[j]&&(t==-1||dist[j]<dist[t]))t=j;}//确定了距离起点最近的点，将它标记st[t]=true;//用这个点更新和它相连的点距离起点的距离for(int j=1;j<=n;j++)dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);}if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;return dist[n];
}
int main()
{cin>>n>>m;//初始化邻接矩阵memset(g,0x3f,sizeof g);while(m--){int a,b,c;cin>>a>>b>>c;//如果有重边的话，取最小的那条边,自环遍历不到不再考虑g[a][b]=min(g[a][b],c);}int t=dijkstra();cout<<t;return 0;
}

注意：对于自环是遍历不到的，而重边只取其中最短的一条

堆优化版Dijkstra算法

当图为稀疏图时，也就是点数和边数在一个数量级上时我们就要用上堆优化版的Dijkstra 算法了，什么是堆优化Dijkstra算法呢？朴素版的Dijkstra算法慢就慢在寻找没有确定最短距离且距离起点最近的点这里，这里我们用堆来找可以提高速度，这个也就是堆优化Dijkstra算法了，堆优化Dijkstra也就是对朴素版的查找部分用堆来优化了一下。

堆有两种实现方法，一个是手写堆，一个是优先队列，这里我们用优先队列来做。

步骤和朴素版类似，这里就不赘述了。

堆优化Dijkstra存储

堆优化Dijkstra算法适用于稀疏图，稀疏图用邻接表来存。

案例-Dijkstra求最短路2

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为非负值。

请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 −1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 m。

接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

输出格式

输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离。

如果路径不存在，则输出 −1。

数据范围

1≤n,m≤1.5*1e5,
图中涉及边长均不小于 0，且不超过 10000。
数据保证：如果最短路存在，则最短路的长度不超过 1e9。

输入样例：
3 3
1 2 2
2 3 1
1 3 4
输出样例：
3

代码实现

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
typedef pair<int,int>pll;//存储距离和编号，用于小根堆
int h[N],e[N],ne[N],idx,w[N];//邻接表,w数组表示权重，idx是两个点之间的桥梁
int n,m;
int dist[N];//每个点距离起点的距离
bool st[N];
//邻接表模板
void add(int a,int b,int c)
{e[idx]=b;w[idx]=c;ne[idx]=h[a];h[a]=idx++;
}
int dijkstra()
{//初始化距离，1号点距离为0memset(dist,0x3f,sizeof dist);dist[1]=0;//小根堆，自动升序排列priority_queue<pll,vector<pll>,greater<pll>> heap;heap.push({0,1});while(heap.size()){//取出堆顶元素auto t=heap.top();//弹出堆顶元素heap.pop();//获得堆顶元素的距离和编号int ver=t.second,distance=t.first;if(st[ver]) continue;st[ver]=true;//通过这个点更新和它相连的点距离起点的距离for(int i=h[ver];i!=-1;i=ne[i]){int j=e[i];//获得编号//如果这个点距离起点的距离可以更新的话if(dist[j]>distance+w[i])//遍历所有重边，使用距离最小的重边来更新{dist[j]=distance+w[i];heap.push({dist[j],j});}}}if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;return dist[n];
}
int main()
{cin>>n>>m;//初始化h数组memset(h,-1,sizeof h);while(m--){int a,b,c;cin>>a>>b>>c;//这里不考虑重边add(a,b,c);}int t=dijkstra();cout<<t;return 0;
}

注意：初始化点与点之间的距离时不用考虑重边的问题，我们这里用邻接表存储，会遍历所有的重边，会选择距离最小的重边更新到起点的距离

这类题不用考虑是无向图还是有向图，因为无向图是特殊的有向图，无向图可以看成有一个去的路也有一个回来的路

如有错漏之处，敬请指正！