参考书籍

Rings and Modules，https://alistairsavage.ca/mat3143/
Advanced Modern Algebra - Joseph J. Rotman

模（Modules）

定义

环RRR，R−R-R−模是一个加群（交换加法群）(M,+)(M,+)(M,+)，伴随有环作用（action，也叫作数乘）
R×M→M(r,u)↦ruR \times M \rightarrow M\\ (r,u) \mapsto ru\\ R×M→M(r,u)↦ru
这个环作用满足：

右分配律：r(u+v)=ru+rvr(u+v)=ru+rvr(u+v)=ru+rv
左分配律：(r+s)v=rv+sv(r+s)v=rv+sv(r+s)v=rv+sv
对RRR的结合律：r(sv)=(rs)vr(sv)=(rs)vr(sv)=(rs)v
稳定性：1Rv=v1_Rv=v1Rv=v

其中r,s∈Rr,s \in Rr,s∈R，u,v∈Mu,v \in Mu,v∈M。这种定义叫做左模，记做RM_RMRM（类似的可以定义右模，记做MRM_RMR，但结构完全一致，不讨论）

性质

由于MMM是交换群，因此可以定义和（sum），∑i=1nrivi\sum_{i=1}^n r_iv_i∑i=1nrivi

对于环RRR的零元0R0_R0R和单位元1R1_R1R以及群MMM的单位元0M0_M0M，有

0Rv=0M0_Rv=0_M0Rv=0M，r0M=0Mr0_M=0_Mr0M=0M
(−r)v=r(−v)=−(rv)(-r)v=r(-v)=-(rv)(−r)v=r(−v)=−(rv)

方便起见，之后的零元、单位元都不再标注R,MR,MR,M下标。

例子

Z−\mathbb Z-Z−模就是任意一个交换群，环作用是数乘。
域FFF，那么F−F-F−模就是线性空间，环作用是数乘。
令VVV是域FFF上的向量空间，T∈EndF(V)T \in End_F(V)T∈EndF(V)是线性算子。那么，VVV是F[x]−F[x]-F[x]−模，这里的环作用是p(x)v:=p(T)(v)p(x)v:=p(T)(v)p(x)v:=p(T)(v)
左正则模（left regular module），环RRR作为加群是自身的左模，环作用是环的左乘法。
令M1,⋯,MnM_1,\cdots,M_nM1,⋯,Mn都是R−R-R−模，它们的卡氏积（cartesian product）M1×⋯×MnM_1\times \cdots \times M_nM1×⋯×Mn也是R−R-R−模，算子为(v1,⋯,vn)+(u1,⋯,un)=(v1+u1,⋯,vn+un)(v_1,\cdots,v_n)+(u_1,\cdots,u_n)=(v_1+u_1,\cdots,v_n+u_n)(v1,⋯,vn)+(u1,⋯,un)=(v1+u1,⋯,vn+un)，环作用为c(v1,⋯,vn)=(cv1,⋯,cvn)c(v_1,\cdots,v_n)=(cv_1,\cdots,cv_n)c(v1,⋯,vn)=(cv1,⋯,cvn)。易知，RnR^nRn是R−R-R−模。
环RRR，集合Matn(R)Mat_n(R)Matn(R)，它对于两个算子矩阵加和矩阵乘做成了一个环。那么RnR^nRn是Matn(R)−Mat_n(R)-Matn(R)−模，环作用是矩阵左乘。

子模（Submodule）

定义

令MMM是任意的R−R-R−模，子集N⊆MN \subseteq MN⊆M叫做R−R-R−子模，如果满足

包含单位元：0∈N0 \in N0∈N
加法封闭：u,v∈Nu,v \in Nu,v∈N，那么u+v∈Nu+v \in Nu+v∈N
环作用封闭：r∈R,u∈Nr \in R,u \in Nr∈R,u∈N，那么ru∈Nru \in Nru∈N

如果N⊂MN \sub MN⊂M，那么它是真子模（proper submodule）

性质

NNN是MMM的子群，也是加法和环作用被限制在NNN内部的R−R-R−模。

MMM的平凡子模：零子模{0}\{0\}{0}、自身MMM。

单模（simple module）：没有非零真子模，或者说没有非平凡子模。也叫作不可约模。

令SSS是R−R-R−模MMM的子集，那么集合
N={∑i=1kriui∣k∈N,ri∈R,ui∈S}N=\{\sum_{i=1}^k r_iu_i | k \in \mathbb N,r_i \in R, u_i \in S\} N={i=1∑kriui∣k∈N,ri∈R,ui∈S}
它是包含SSS的最小R−R-R−子模。我们说SSS生成（Generate / Span）了NNN，记做<S>R<S>_R<S>R或者RSRSRS或者SpanR(S)Span_R(S)SpanR(S)。如果MMM可以由有限多的元素生成，那么叫做有限生成的（finitely type）

循环模（cyclic module）：由单个元素uuu生成的模，即R_RR

如果N1,⋯,NkN_1,\cdots,N_kN1,⋯,Nk都是MMM的R−R-R−子模，那么

它们的和，N1+⋯+Nk:={∑i=1kui:ui∈Ni}N_1+\cdots+N_k:=\{\sum_{i=1}^k u_i:u_i \in N_i\}N1+⋯+Nk:={∑i=1kui:ui∈Ni}
它们的交，N1∩⋯∩Nk:={u:u∈Ni,∀i}N_1 \cap \cdots \cap N_k:=\{u:u \in N_i,\forall i\}N1∩⋯∩Nk:={u:u∈Ni,∀i}

都是MMM的R−R-R−子模。当R=FR=FR=F是域，退化成线性子空间的交、和；当R=ZR=\mathbb ZR=Z，退化成交换子群的交、和。

容易看到，<u1,⋯,uk>R=Ru1+⋯Ruk<u_1,\cdots,u_k>_R=Ru_1+\cdots Ru_k<u1,⋯,uk>R=Ru1+⋯Ruk，循环模的和。

零化子：令MMM是一个R−R-R−模，子集X⊆MX \subseteq MX⊆M，定义
ann(X):={r∈R:ru=0,∀u∈X}ann(X):= \{r \in R: ru=0 ,\forall u \in X\} ann(X):={r∈R:ru=0,∀u∈X}
令RRR是整环，MMM是R−R-R−模。一个元素u∈Mu \in Mu∈M，如果存在非零元r∈Rr \in Rr∈R使得ru=0ru=0ru=0，我们把uuu叫做扭元/挠元（torsion），令MtorM_{tor}Mtor表示所有的扭元集合。如果MMM的所有元素都是扭元，我们把MMM叫做扭模（torsion module）。如果MMM只有唯一的扭元0M∈M0_M \in M0M∈M，我们说MMM是扭自由的（torsion free）。

MtorM_{tor}Mtor是R−R-R−子模。如果MMM是有限生成的扭模，那么存在非零元r∈Rr \in Rr∈R，使得rM=0rM=0rM=0（因为整环RRR可交换，将生成元对应的rir_iri的乘积作为rrr即可）

例子

Z−\mathbb Z-Z−子模，就是交换群的子群。
正则模RRR的R−R-R−子模，就是它的左理想。
Z−\mathbb Z-Z−单模，当仅当它是一个单群（只有平凡正规子群）。
域FFF上向量空间VVV的F[x]−F[x]-F[x]−子模，就是T−T-T−不变子空间UUU，即T(U)⊆UT(U) \subseteq UT(U)⊆U
MMM是循环模，当仅当它是循环群。
ann(X)⊆Rann(X) \subseteq Rann(X)⊆R是环RRR的左理想。

商模（Quotient module）

定义

令NNN是MMM的R−R-R−子模，商模M/N={u+N:u∈M}M/N=\{u+N:u \in M\}M/N={u+N:u∈M}是NNN的陪集的集合，它是一个R−R-R−模，环作用为
r(u+N):=ru+Nr(u+N) := ru+N r(u+N):=ru+N

两个陪集相等u+N=v+N⟺u+N = v+N \iffu+N=v+N⟺元素的差 u−v∈Nu-v \in Nu−v∈N

例子

Z−\mathbb Z-Z−模MMM，对于任意子群NNN，商群M/NM/NM/N是商模。
左正则模RRR，对于任意左理想III，商环R/IR/IR/I是商模。
域FFF上向量空间VVV，对于任意的子空间UUU，商空间V/UV/UV/U是商模。

自由模（Free module）

定义

线性无关：R−R-R−模MMM，子集S⊆MS \subseteq MS⊆M，不同的元素u1,⋯un∈Su_1,\cdots u_n \in Su1,⋯un∈S，我们说它们是RRR上线性无关的（linearly independent），如果方程
r1u1+⋯+rnun=0r_1u_1+\cdots+r_nu_n=0 r1u1+⋯+rnun=0
有唯一解r1=⋯=rn=0Rr_1=\cdots=r_n=0_Rr1=⋯=rn=0R。注意，r1∈Rr_1 \in Rr1∈R可能有非平凡左零因子s1r1=0s_1r_1=0s1r1=0，因此即使单个元素r1u1∈Mr_1u_1 \in Mr1u1∈M，它本身可能就是线性相关的，s1(r1u1)=(s1r1)u1=0u1=0s_1(r_1u_1)=(s_1r_1)u_1=0u_1=0s1(r1u1)=(s1r1)u1=0u1=0；所有的扭元都和自身线性相关。

基：如果SSS是RRR上线性无关的，且SSS可以生成MMM，那么它是MMM作为R−R-R−模的一组基。（必须限制”RRR上“，不同的环下相关性不一致）

自由模：如果模MMM拥有一组基，那么它是自由R−R-R−模。

性质

自由模MMM一组基，就是最小生成集SSS

无限环RRR下，有限模MMM是自由模⟺M={0}\iff M=\{0\}⟺M={0}（因为任意非零元u∈Mu \in Mu∈M的循环模R_RR是有限群，而环作用同构于群的自同态，因此有无限多的r∈Rr \in Rr∈R使得ru=0ru=0ru=0）

例子

RnR^nRn是R−R-R−自由模，基S={e1,⋯,en}S=\{e_1,\cdots,e_n\}S={e1,⋯,en}，这里eie_iei是单位正交向量。
环RRR，Matm×n(R)Mat_{m \times n}(R)Matm×n(R)是自由R−R-R−模（环作用是数乘），S={eij}S=\{e_{ij}\}S={eij}是一组基，这里eije_{ij}eij是位置(i,j)(i,j)(i,j)是111其他位置都为000的矩阵。
自由模的子模不一定自由。令R=Z/(6)R=Z/(6)R=Z/(6)，易知M=R2M=R^2M=R2是R−R-R−自由模，S={e1,e2}S=\{e_1,e_2\}S={e1,e2}是一组基；令y=2e1+2e2y=2e_1+2e_2y=2e1+2e2，则子模N=<y>RN=<y>_RN=<y>R不自由，因为3y=0,3∈R3y=0,3 \in R3y=0,3∈R

模的直和

定义

令M1,⋯,MkM_1,\cdots,M_kM1,⋯,Mk是R−R-R−模MMM的子模，说它们和是直的（direct），如果方程
u1+⋯+uk=0u_1+\cdots+u_k=0 u1+⋯+uk=0
的唯一解是u1=⋯=uk=0Mu_1=\cdots=u_k=0_Mu1=⋯=uk=0M，此时将M1+⋯+MkM_1+\cdots+M_kM1+⋯+Mk写作M1⊕⋯⊕MkM_1 \oplus \cdots \oplus M_kM1⊕⋯⊕Mk

直和的等价定义：Mi∩(Mi+1+⋯+Mk)={0}M_i \cap (M_{i+1}+\cdots+M_k) = \{0\}Mi∩(Mi+1+⋯+Mk)={0}，即每个子模MiM_iMi与其他的所有子模的和∑j≠iMj\sum_{j \neq i}M_j∑j=iMj的交集只是零子模。

性质

直和分解：M=M1⊕⋯⊕Mk⟺M=M_1 \oplus \cdots \oplus M_k \iffM=M1⊕⋯⊕Mk⟺对于任意的u∈Mu \in Mu∈M，都存在唯一的解u1∈M1,⋯,uk∈Mku_1 \in M_1,\cdots,u_k \in M_ku1∈M1,⋯,uk∈Mk，使得u=u1+⋯+uku=u_1+\cdots+u_ku=u1+⋯+uk成立。

不可分解模：R−R-R−模MMM叫做不可分解的（indecomposable），如果MMM无法写作两个非零子模的直和。

任意的单模都是不可分解模（单模只有一个非零子模，它本身）。

基、循环模、直和：自由R−R-R−模MMM，那么{u1,⋯,un}\{u_1,\cdots,u_n\}{u1,⋯,un}是一组基⟺M=Ru1⊕⋯⊕Run\iff M=Ru_1 \oplus \cdots \oplus Ru_n⟺M=Ru1⊕⋯⊕Run并且ui,∀iu_i,\forall iui,∀i都不是扭元。

投影模：我们说一个R−R-R−模PPP是投影的（projective），如果它是某自由模的直和项，即存在一个R−R-R−模MMM使得P⊕MP\oplus MP⊕M是自由R−R-R−模。

例子

令M1,⋯,MnM_1,\cdots,M_nM1,⋯,Mn都是R−R-R−模，它们的笛卡尔积M=M1×⋯×MnM=M_1\times \cdots \times M_nM=M1×⋯×Mn拥有子模
Mi′={(0,⋯,0,ui,0,⋯,0):ui∈Mi}M_i'=\{(0,\cdots,0,u_i,0,\cdots,0): u_i \in M_i\} Mi′={(0,⋯,0,ui,0,⋯,0):ui∈Mi}
满足M=M1′⊕⋯⊕Mk′M=M_1' \oplus \cdots \oplus M_k'M=M1′⊕⋯⊕Mk′，且有同构关系Mi≅Mi′M_i \cong M_i'Mi≅Mi′，映射取做u↦(0,⋯,0,ui,0,⋯,0)u \mapsto (0,\cdots,0,u_i,0,\cdots,0)u↦(0,⋯,0,ui,0,⋯,0)。因此，笛卡尔积是直和。
不可分解模不一定是单模。例如正则模Z\mathbb ZZ：它是不可分解的，因为任意真子模的交mZ∩nZ=lcm(m,n)Z≠{0}m\mathbb Z \cap n\mathbb Z = lcm(m,n)\mathbb Z \neq \{0\}mZ∩nZ=lcm(m,n)Z={0}；但它不是单模，因为mZm\mathbb ZmZ是非零真子模。
任意自由模都是投影的，我们简单选取M={0}M=\{0\}M={0}即可。
投影模自身不一定是自由模。例如环作用是矩阵左乘的Matn(C)−Mat_n(\mathbb C)-Matn(C)−模Cn\mathbb C^nCn，它是投影模（考虑nnn次笛卡尔积，满秩矩阵都不是扭元），但它不是自由模（对于任意的x∈Cnx \in \mathbb C^nx∈Cn，都有无穷多矩阵A∈Matn(C)A \in Mat_n(\mathbb C)A∈Matn(C)可以使得Ax=0Ax=0Ax=0，其实AAA就是正交补空间中的任意nnn个向量）

模同态

定义

令M,NM,NM,N都是R−R-R−模，从MMM到NNN的同态（homomorphism）是一个函数ϕ:M→N\phi: M \rightarrow Nϕ:M→N，满足

加群的同态：ϕ(u1+u2)=ϕ(u1)+ϕ(u2)\phi(u_1+u_2) = \phi(u_1)+\phi(u_2)ϕ(u1+u2)=ϕ(u1)+ϕ(u2)，u1,u2∈Mu_1,u_2 \in Mu1,u2∈M
环作用下同态：ϕ(ru)=rϕ(u)\phi(ru)=r \phi(u)ϕ(ru)=rϕ(u)，u∈Mu \in Mu∈M

如果是满射，那么叫做满同态。如果是双射，那么是模同构（isomorphism），记做M≅NM \cong NM≅N

性质

环RRR，令ϕ:Rm→Rn\phi: R^m \rightarrow R^nϕ:Rm→Rn是一个R−R-R−模同态，那么存在唯一的矩阵P∈Rn×mP \in R^{n \times m}P∈Rn×m，使得
ϕ(u)=Pu,∀u∈Rm\phi(u) = Pu, \forall u \in R^m ϕ(u)=Pu,∀u∈Rm
这里的PPP是由mmm个列向量Li:=ϕ(ei)L_i := \phi(e_i)Li:=ϕ(ei)组成的。令m=n=1m=n=1m=n=1，那么任意的同态映射可以表示为ρs(r)=sr,s∈R\rho_s(r) = sr,s \in Rρs(r)=sr,s∈R的形式。

令ϕ:M→N\phi:M \rightarrow Nϕ:M→N和ψ:N→P\psi:N \rightarrow Pψ:N→P是两个R−R-R−模同态/同构，那么

映射的复合ψ∘ϕ:M→P\psi \circ \phi: M \rightarrow Pψ∘ϕ:M→P是模同态/同构。
若ϕ\phiϕ可逆，那么逆映射ϕ−1:N→M\phi^{-1}: N \rightarrow Mϕ−1:N→M是模同态/同构。

令ϕ:M→N\phi:M \rightarrow Nϕ:M→N是R−R-R−模同态，

核（kernel）：ker⁡(ϕ):={u∈M:ϕ(u)=0}\ker(\phi):=\{u \in M: \phi(u)=0\}ker(ϕ):={u∈M:ϕ(u)=0}，是MMM的R−R-R−子模
像（image）：im(ϕ):={ϕ(u):ϕ(u)=0}im(\phi):=\{\phi(u): \phi(u)=0\}im(ϕ):={ϕ(u):ϕ(u)=0}，是NNN的R−R-R−子模
ϕ\phiϕ是双射⟺ker(ϕ)={0}\iff ker(\phi)=\{0\}⟺ker(ϕ)={0}，ϕ\phiϕ是满射⟺im(ϕ)=N\iff im(\phi)=N⟺im(ϕ)=N

任意有限生成的R−R-R−模M=<v1,⋯,vn>RM=<v_1,\cdots,v_n>_RM=<v1,⋯,vn>R，都是有限生成的自由模RnR^nRn的同态像，构造同态映射ϕ(r1,⋯,rn)↦∑i=1nrivi\phi(r_1,\cdots,r_n) \mapsto \sum_{i=1}^n r_i v_iϕ(r1,⋯,rn)↦∑i=1nrivi

令ϕ:M→N\phi:M \rightarrow Nϕ:M→N是R−R-R−模同态，若MMM是自由模，且一组基为{u1,⋯,un}\{u_1,\cdots,u_n\}{u1,⋯,un}，那么ϕ\phiϕ是同构⟺{ϕ(u1),⋯,ϕ(un)}\iff \{\phi(u_1),\cdots,\phi(u_n)\}⟺{ϕ(u1),⋯,ϕ(un)}是NNN的一组基。即，同构映射将基映射到相同大小的基。

例子

Z−\mathbb Z-Z−模就是交换群，它们之间的模同态就是群同态。
R=FR=FR=F是域，那么F−F-F−模M,NM,NM,N之间的模同态ϕ:M→N\phi:M \rightarrow Nϕ:M→N，就是从线性空间MMM到NNN的线性映射。
模MMM的子模NNN，那么商映射ϕ:u↦u+N\phi: u \mapsto u+Nϕ:u↦u+N是满同态。

同构定理

第一同构定理

令M,NM,NM,N都是R−R-R−模，有一个模同态ϕ:M→N\phi:M \rightarrow Nϕ:M→N，那么就存在模同构
im(ϕ)≅M/ker(ϕ)im(\phi) \cong M/ker(\phi) im(ϕ)≅M/ker(ϕ)
证明：构造映射
ψ:M/ker(ϕ)→im(ϕ)u+ker(ϕ)↦ϕ(u)\psi: M/ker(\phi) \rightarrow im(\phi)\\ u+ker(\phi) \mapsto \phi(u) ψ:M/ker(ϕ)→im(ϕ)u+ker(ϕ)↦ϕ(u)
易证它是群同构，再证明它在环作用下同态，从而是模同构。

第二同构定理

令MMM是R−R-R−模，拥有子模S,TS,TS,T，那么就存在模同构
(S+T)/T≅S/(S∩T)(S+T)/T \cong S/(S \cap T) (S+T)/T≅S/(S∩T)
证明：构造映射
ϕ:S→(S+T)/Tu↦u+T\phi: S \rightarrow (S+T)/T\\ u \mapsto u+T ϕ:S→(S+T)/Tu↦u+T
先证明ϕ\phiϕ是模同态且是满的，再证明ker(ϕ)=S∩Tker(\phi)=S \cap Tker(ϕ)=S∩T，从而应用第一同构定理。

第三同构定理

令N⊆L⊆MN \subseteq L \subseteq MN⊆L⊆M是R−R-R−模的上升链，那么就存在同构
M/L≅(M/N)/(L/N)M/L \cong (M/N)/(L/N) M/L≅(M/N)/(L/N)
证明：构造映射
ϕ:M/N→M/Lu+N↦u+L\phi: M/N \rightarrow M/L\\ u+N \mapsto u+L ϕ:M/N→M/Lu+N↦u+L
先证明ϕ\phiϕ是模同态且是满的，再证明ker(ϕ)=L/Nker(\phi)=L/Nker(ϕ)=L/N，从而应用第一同构定理。

例子

若R−R-R−模M=M1⊕M2M=M_1\oplus M_2M=M1⊕M2，那么有模同构M/M1≅M2M/M_1 \cong M_2M/M1≅M2（考虑满同态ϕ:M1×M2→M2\phi:M_1 \times M_2 \rightarrow M_2ϕ:M1×M2→M2）
若M=RM=_RM=R是循环模，那么有模同构M≅R/ann(u)M \cong R/ann(u)M≅R/ann(u)（正则模RRR，考虑映射ϕ:R→M,r↦ru\phi:R \rightarrow M,r \mapsto ruϕ:R→M,r↦ru）

内外直和

下面的内容参考Rotman的书籍。

令RRR是交换环，令S,TS,TS,T是R−R-R−模，那么它们的直和记做S⊔TS \sqcup TS⊔T，是笛卡尔积S×TS \times TS×T，伴随如下坐标宽度的运算（with coordinatewise operations）
(s,t)+(s′,t′)=(s+s′,t+t′)r(s,t)=(rs,rt)(s,t)+(s',t') = (s+s',t+t')\\ r(s,t) = (rs,rt) (s,t)+(s′,t′)=(s+s′,t+t′)r(s,t)=(rs,rt)
其中s,s′∈Ss,s' \in Ss,s′∈S，t,t′∈Tt,t' \in Tt,t′∈T，r∈Rr \in Rr∈R

进一步，如下的关于M,S,TM,S,TM,S,T的描述等价：

S⊔T≅MS \sqcup T \cong MS⊔T≅M
存在单的同态i:S→Mi:S \to Mi:S→M和j:T→Mj: T \to Mj:T→M，使得
M=im(i)+im(j),im(i)∩im(j)={0}M = im(i)+im(j),\,\, im(i) \cap im(j) = \{0\} M=im(i)+im(j),im(i)∩im(j)={0}
存在同态i:S→Mi:S \to Mi:S→M和j:T→Mj: T \to Mj:T→M，使得对于任意的m∈Mm \in Mm∈M，都存在唯一的s∈Ss \in Ss∈S和t∈Tt \in Tt∈T，满足
m=is+jtm = is+jt m=is+jt
存在同态i:S→Mi:S \to Mi:S→M，j:T→Mj: T \to Mj:T→M，p:M→Sp: M \to Sp:M→S，q:M→Tq: M \to Tq:M→T，使得
pi=1S,qj=1T,qi=0,ip+jq=1Mpi=1_S,\,\, qj=1_T,\,\, qi=0,\,\, ip+jq=1_M pi=1S,qj=1T,qi=0,ip+jq=1M
单同态i,ji,ji,j叫做注入（injection），满同态p,qp,qp,q叫做投影（projection）

internal direct sum

如果S,TS,TS,T都是MMM的子模，如果M≅S⊔TM \cong S \sqcup TM≅S⊔T，伴随包含映射（the inclusions）i:S→Mi:S \to Mi:S→M和j:T→Mj:T \to Mj:T→M，那么MMM是它们的内直和（internal direct sum），记做M=S⊕TM = S \oplus TM=S⊕T

一个子模S⊆MS \subseteq MS⊆M叫做MMM的直和分量（direct summand），如果存在一个子模TTT，使得M=S⊕TM = S \oplus TM=S⊕T

一个子模S⊆MS \subseteq MS⊆M叫做MMM的缩回（retract），如果存在R−R-R−同态ρ:M→S\rho:M \to Sρ:M→S，使得ρ(s)=s,∀s∈S\rho(s)=s,\forall s \in Sρ(s)=s,∀s∈S，叫做收缩（retraction）

子模S⊆MS \subseteq MS⊆M是MMM的直和分量⟺\iff⟺存在一个收缩ρ:M→S\rho:M \to Sρ:M→S

external direct sum

令S1,⋯,SnS_1,\cdots,S_nS1,⋯,Sn都是R−R-R−模，外直和（external direct sum）定义为
S1⊔⋯⊔SnS_1 \sqcup \cdots \sqcup S_n S1⊔⋯⊔Sn
它是R−R-R−模，底层集合（underlying set）是笛卡尔积S1×⋯×SnS_1\times \cdots \times S_nS1×⋯×Sn，运算为
(s1,⋯,sn)+(s1′,⋯,sn′)=(s1+s1′,⋯,sn+sn′)r(s1,⋯,sn)=(rs1,⋯,rsn)(s_1,\cdots,s_n)+(s_1',\cdots,s_n') = (s_1+s_1',\cdots,s_n+s_n')\\ r(s_1,\cdots,s_n) = (rs_1,\cdots,rs_n) (s1,⋯,sn)+(s1′,⋯,sn′)=(s1+s1′,⋯,sn+sn′)r(s1,⋯,sn)=(rs1,⋯,rsn)

Exact Sequence

正合列

一个R−R-R−模和R−R-R−同态的序列
⋯⟶Mn+1⟶fn+1Mn⟶fn+1Mn−1⟶⋯\cdots \overset{}{\longrightarrow} M_{n+1} \overset{f_{n+1}}{\longrightarrow} M_n \overset{f_{n+1}}{\longrightarrow} M_{n-1} \overset{}{\longrightarrow} \cdots ⋯⟶Mn+1⟶fn+1Mn⟶fn+1Mn−1⟶⋯
被叫做正合列（exact sequence），如果满足
im(fn+1)=ker(fn),∀nim(f_{n+1}) = ker(f_n),\forall n im(fn+1)=ker(fn),∀n
即前一个同态的像恰好是后一个同态的核，任意对象经连续的两次态射都得到零元。

性质

给定如下形式的序列
0⟶A⟶fB0 \overset{}{\longrightarrow} A \overset{f}{\longrightarrow} B 0⟶A⟶fB
它是正合的⟺f\iff f⟺f是单的（injective）
给定如下形式的序列
B⟶gC⟶0B \overset{g}{\longrightarrow} C \overset{}{\longrightarrow} 0 B⟶gC⟶0
它是正合的⟺g\iff g⟺g是满的（surjective）
给定如下形式的序列
0⟶A⟶hB⟶00 \overset{}{\longrightarrow} A \overset{h}{\longrightarrow} B \overset{}{\longrightarrow} 0 0⟶A⟶hB⟶0
它是正合的⟺h\iff h⟺h是一个同构（isomorphism）

短正合列

我们将形如
0⟶A⟶fB⟶gC⟶00 \overset{}{\longrightarrow} A \overset{f}{\longrightarrow} B \overset{g}{\longrightarrow} C \overset{}{\longrightarrow} 0 0⟶A⟶fB⟶gC⟶0
的正合列，叫做短正合列（short exact sequence），或者叫做 an extension of A by C， the middle module B is an extension.

性质

短正合列0⟶A⟶fB⟶gC⟶00 \overset{}{\longrightarrow} A \overset{f}{\longrightarrow} B \overset{g}{\longrightarrow} C \overset{}{\longrightarrow} 00⟶A⟶fB⟶gC⟶0满足：
A≅im(f),B/im(f)≅CA \cong im(f),\,\, B/im(f) \cong C A≅im(f),B/im(f)≅C
如果T⊆S⊆MT \subseteq S \subseteq MT⊆S⊆M是一列子模，那么存在如下短正合列：
0⟶S/T⟶fM/T⟶gM/S⟶00 \overset{}{\longrightarrow} S/T \overset{f}{\longrightarrow} M/T \overset{g}{\longrightarrow} M/S \overset{}{\longrightarrow} 0 0⟶S/T⟶fM/T⟶gM/S⟶0
其中f:s+T↦s+Tf:s+T \mapsto s+Tf:s+T↦s+T是包含（the inclusion），而g:m+T↦m+Sg: m+T \mapsto m+Sg:m+T↦m+S是陪集扩张（coset enlargement），有ker(g)=S/T=im(f)ker(g) = S/T = im(f)ker(g)=S/T=im(f)

分裂的短正合列

一个短正合列
0⟶A⟶iB⟶pC⟶00 \overset{}{\longrightarrow} A \overset{i}{\longrightarrow} B \overset{p}{\longrightarrow} C \overset{}{\longrightarrow} 0 0⟶A⟶iB⟶pC⟶0
是分裂的（split），如果存在映射j:C→Bj:C \to Bj:C→B，满足pj=1Cpj = 1_Cpj=1C（ppp是右可逆的）

右分裂：ppp是右可逆的（注意ppp是满射但不一定是单射）；左分裂：iii是左可逆的（注意iii是单射但不一定是满射）；分裂：左右分裂的，将导致B≅A⊕CB \cong A \oplus CB≅A⊕C

性质

如果短正合列是分裂的，那么
B≅A⊔CB \cong A \sqcup C B≅A⊔C
这里⊔\sqcup⊔是模的直和。

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