数值分析-雅克比迭代法

雅克比迭代法

雅克比迭代法就是众多迭代法中比较早且较简单的一种，其命名也是为纪念普鲁士著名数学家雅可比。雅克比迭代法的计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。

迭代过程

首先将方程组中的系数矩阵A分解成三部分，即：A = L+D+U，如图1所示，其中D为对角阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。
之后确定迭代格式，X^(k+1) = B*X^(k) +f ，（这里^表示的是上标，括号内数字即迭代次数），如图1所示，其中B称为迭代矩阵，雅克比迭代法中一般记为J。（k = 0,1，…）
再选取初始迭代向量X^(0)，开始逐次迭代。

收敛性

设Ax= b，其中A=D+L+U为非奇异矩阵，且对角阵D也非奇异，则当迭代矩阵J的谱半径ρ（J）<1时，雅克比迭代法收敛

优缺点

雅克比迭代法的优点明显，计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。然而这种迭代方式收敛速度较慢，而且占据的存储空间较大

例题

程序算法

#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include <stdlib.h>int main()
{float e = 0.001, z, m, y[3];float b[3] = {-12, 20, 3};float x[3] = {0);float a[3][3] = {{5,  2,   1},{-1, 4,  2},{2, -3, 10}};int n = 3, j, i, k = 1;while(1) {for(i=0;i<3;i++) {for(j=0;j<3;j++)m=m+a[i][j]*x[j];m = m - x[i] * a[i][i];y[i] = (b[i] - m) / a[i][i];m = 0;}i = 0;while(i < 3) {z = fabs(x[i] - y[i]);if(z > e)break;i++;}if(i != 3){for(i = 0; i < 3; i++)x[i] = y[i];k++;}else if(i == 3)break;}printf("%f\n%f\n%f\n", y[0], y[1], y[2]);return 0;
}
1求解方程：8 * x1 - 3 * x2 + 2 * x3 = 204 * x1 - 11 * x2 - x3 = 336 * x1 + 3 * x2 + 12 * x3 = 36精确解：x1 = 0.411817, x2 = -3.176429, x3 = 3.588173
--->
迭代公式：x1^(k+1) = (3 * x2^(k) - 2 * x3^(k) + 20) / 8;x2^(k+1) = (-4 * x1^(k) + 1 * x3^(k) + 33) / (-11);x2^(k+1) = (-6 * x1^(k) - 3 * x2^(k) + 36) / 12;
*/#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>struct X {float x1;float x2;float x3;
};X jcobi(X& v)
{X r;r.x1 = (3 * v.x2 - 2 * v.x3 + 20) / 8;r.x2 = (-4 * v.x1 + v.x3 + 33) / (-11);r.x3 = (-6 * v.x1 - 3 * v.x2 + 36) / 12;return r;
}void main() {X v = {0,0,0};int iteration = 20;while (iteration-- > 0) {v = jcobi(v);}printf("%f\n%f\n%f\n", v.x1, v.x2, v.x3);
}

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