测量误差(error)的概念

测量误差(error)的概念
2011年06月09日
　　测量误差(error)的概念
　　§6-1 测量误差(error)的概念
　　一、几个基本概念
　　1、不符值：在同一个观测量中，观测值和真值之间的差异，或者观测值之间的差异。
　　2、理论值：即真值，被观测量在一定条件下客观存在的数值。（X）
　　3、观测值：通过观测所得的数值。（Li）
　　4、真误差：真误差（△）=观测值(Li)―真值(X)
　　二、研究测量误差的目的
　　1、对含误差的观测值进行处理，减少或消除误差，求未知量的最或是值。（如调整高差闭合差，取平均值等）
　　2、评定观测值的精度。
　　3、选最佳方案。仪器、方法、测回数、量边等。
　　三、测量误差产生的原因
　　1、仪器误差
　　2、观测误差
　　3、外界条件的影响
　　四、观测的分类
　　1、必要观测和多余观测（依照观测次数分）
　　多余观测的作用：
　　（1）发现错误；
　　（2）提高精度；
　　（3）评定精度。
　　2、等精度观测和非等精度观测（依照观测条件分）
　　（！）观测条件
　　（2）条件基本相同的观测称等精度观测，一个不同，称非等精度观测。
　　五、误差的分类（按性质分）
　　（一）、系统误差（system error）：
　　1、定义：在相同的观测条件下，对某量作一系列观测，如果测量误差在大小、符号上表现一致性或按一定的规律变化，或保持常数。
　　2、处理方法：
　　（1）检验与校正仪器；
　　（2）加计算改正；
　　（3）采用适当的观测方法。
　　（二）偶然误差（accident error）
　　1、定义：在相同的观测条件下，对某量作一系列的观测，如果单个观测误差的大小、符号在表面上看随机排列，没有规律性。
　　2、说明：偶然误差的产生是多种因素的综合影响，不可避免。因此，偶然误差是误差理论的主要研究对象。
　　（三）粗差(gross error)
　　即测量中的错误。粗差可采用多余观测来发现，并重新观测含粗差的观测值来消除。
　　一般情况下，系统误差和粗差可消除或减少到最低程度。因此以后提到的误差通常认为只包含偶然误差或真误差。
　　§6-2 偶然误差的特性
　　例如：在相同的观测条件下，对一个单三角形的内角进行217次观测，分析其三角形内角和的真误差的规律，发现就大量偶然误差而言，服从统计规律-----正态分布。如下图：
　　总结：偶然误差的四特性：
　　1、有限性；在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一极限值；
　　2、集中性；绝对值较小的误差出现频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；
　　3、对称性；绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等；
　　4、抵偿性。当观测次数无限增大时，偶然误差的算术平均值趋近于零。
　　当观测次数n →∞时，
　　§6-3 观测值的算术平均值及改正值
　　一、算术平均值（arithmetic average）
　　定义：在等精度的观测条件下，对某未知量进行n次观测，其观测值分别为L1、L2……Ln，取这些观测值的算术平均值，作为该量的最后结果，称为最或是值。
　　分析：
　　设该量的真值为X，各观测值的真误差为△i
　　则：
　　总结：当观测值无限增大时，观测值的算术平均值趋近于该量的真值。当观测次数有限时，可将算术平均值作为该量的最或是值，或者称为似真值。
　　二、观测值的改正数
　　定义：算术平均值与观测值之差称为观测值的改正数（v）（也称残差residual）。
　　似真误差：
　　改正数：
　　即：
　　改正数的数学特性：
　　（1），可用于检核计算之用。
　　（2）
　　分析：
　　设
　　要使最小，须，且
　　推导可得在只有当，才满足，称最小二乘原理。
　　即：
　　§6-4 观测值精度的衡量
　　精度：误差分布的密集和离散的程度。
　　衡量精度的指标：为衡量精度的高低，反映误差分布离散度的大小，需要一个数字概念。
　　常用的指标有以下几种：
　　一、中误差
　　等精度的观测成果一般取标准差σ（standard deviation）作为衡量精度的指标。不同的σ对应不同形状的分布曲线，σ越小，曲线越陡，精度高；σ越大，曲线越缓，精度低。
　　设对真值已知的某已知量进行n次等精度观测，则该组观测值的标准差为：
　　因为观测次数有限，只能求出标准差的估计值（estimating）,也称为中误差（mean square error），用m表示。
　　例题1：甲乙两组对某三角形的内角分别做了10次观测，已知每次观测的三角形内角和的真误差为：
　　甲组：-3、-2、+2、+4、-1、0、-4、+3、+2、-3
　　乙组：0、+1、-7、-2、-1、+1、+8、0、+3、-1
　　则：
　　，故甲组精度高。
　　说明：
　　1、在相同观测条件下进行的一组等精度观测，其每一个观测值都是等精度的观测值，即一组观测值的中误差m 也是该组中任一观测值的中误差。
　　2、为鉴定观测成果质量，通常做以下表示：
　　L±m
　　L-----代表观测成果
　　m-----观测值中误差
　　二、用观测值的改正值计算中误差
　　利用真误差来求中误差，前提条件是真值已知。
　　在真值未知的情况下，则需要用观测值的改正数来求中误差。
　　当观测次数n有限时，根据推导（略）可得观测值中误差的计算公式：
　　（白塞尔公式）（Bessel formula）
　　例题2：对某一水平角，等精度观测了5次，求其算术平均值及观测值的中误差。
　　次数
　　观测值l
　　△l
　　″
　　改正值v″
　　vv
　　计算和m
　　1
　　35 42 49
　　9
　　-4
　　16
　　2
　　35 42 40
　　0
　　+5
　　25
　　3
　　35 42 42
　　2
　　+3
　　9
　　4
　　35 42 46
　　6
　　-1
　　1
　　5
　　35 42 48
　　8
　　-3
　　9
　　∑
　　L0=35 42 40
　　25
　　0
　　60
　　三、容许误差（极限误差limit error）
　　是通过概率论中某一事件发生的概率来定义的。
　　根据统计，真误差的绝对值＞1σ，占31.7%
　　＞2σ，占4.6%
　　＞3σ，占0.3%
　　根据概率原理，小概率事件在小样本事件中不会发生。
　　即观测次数有限时，绝对值大于2σ和3σ真误差实际不可能发生。
　　因此，测量规范中常以2σ和3σ作为真误差的允许值，称为极限误差，简称限差(tolerance)。
　　若观测值的误差超限，则认为观测值含有系统误差和粗差，应加以剔除。
　　四、相对误差（relative error）
　　相对误差是专门为距离测量定义的精度指标。
　　例题3：丈量距离，甲组 100m，乙组 400m，m甲=m乙=±0.2m
　　即 k甲=m甲/100=1/5000
　　K乙=m乙/400=1/20000
　　乙组精度高。
　　说明：1、相对误差没有单位，是一个分子为1的分数。
　　2、用于评定测量是否合格。
　　用于衡量精度的高低。
　　§6-5 误差传播定律
　　一、观测值的函数
　　， a，b------直接观测值
　　hAB-------间接观测值
　　有一些未知量，是1个或几个直接观测值的函数。
　　误差传播定律（law of error propagation）：阐述各独立观测值的中误差如何传播给观测值函数值的中误差的规律。
　　二、线性函数的中误差
　　函数形式：
　　结论：
　　例题4：对某一条边等精度往返观测，其丈量结果
　　求：（1）量距的最后结果及其中误差
　　（2）相对误差及相对中误差
　　解：（1）
　　（2）
　　应用：对某量进行n次等精度观测，已知观测值的中误差m，计算观测值算术平均值的中误差M，
　　结论：n次等精度观测值的算术平均值的中误差只有一次观测值中误差的
　　分析：设m=1
　　n= 1 2 3 ……20 50 100
　　M= 1 0.7 0.58 0.22 0.14 0.10
　　(1)当n增加，M减少，算术平均值精度提高
　　（2）当n增大到一定数目，精度提高不多，要在仪器精度和观测方法方面考虑。
　　三、倍数函数的中误差
　　函数形式：
　　结论：
　　例题5：某正方形量得一边长为a=200mm，它的中误差ma=±2mm，求其周长c及其中误差mc。
　　步骤：1、写出原始函数式
　　C=4a
　　C=800mm
　　2、分析函数类型，套误差传播公式
　　3、写出综合结论
　　四、和差函数的中误差
　　函数形式：
　　x、y------互相独立的观测值
　　结论：
　　推论：
　　例题6：某正方形分别量得四边长为a1，a2，a3，a4，其每边丈量中误差均为ma=±2mm，求其周长c及其中误差mc。
　　C=a1+a2+a3+a4
　　应用：由三角形闭合差求实际测角中误差
　　对某三角形的三内角a，b，c，做n次等精度的观测，已知其三角形闭合差的中误差为，求测角中误差。
　　角度闭合差可用下式计算：
　　1、内角和的真误差
　　2、角度闭合差的真误差
　　所以可以采用利用真误差求中误差的公式计算
　　即：
　　再利用误差传播公式计算测角中误差
　　结论：在三角测量中，通常用菲列罗公式评定测角精度。
　　例题7：已知某角观测三个测回的算术平均值的中误差为±10”，今在同样的观测条件下，将测角中误差提高到±6”，问需要观测几个测回。
　　设一测回测角中误差为
　　∵
　　∴
　　设在等精度条件下将测角中误差提高到±6”，所需要的测回数为n
　　得：
　　取 n=9测回
　　五、一般函数的中误差
　　函数形式：
　　式中：x1，x2……，xn-----独立观测值，其中误差为m1，m2……，mn
　　结论：一般函数的中误差关系式为
　　说明：1、上述公式适用于任何函数。
　　2、式中： ----函数的偏导数
　　注意：如果在计算的微分的函数中有三角函数，则应将角度单位化做以弧度为单位，才能计算出正确结果。
　　§6-6 误差传播定律的应用
　　目的：讨论某些测量成果的精度和限差规定的理论根据。
　　一、距离测量的精度
　　目的：讨论一般距离丈量中相对极限误差1/2000的理论根据。
　　分析：
　　设长度为的钢尺丈量一尺段的中误差为m ，共丈量n个尺段，其水平距离为D。
　　则：
　　又∵ 尺段数
　　∴
　　令： ---------称为单位长度中误差
　　则：
　　结论：距离丈量的中误差与距离的平方根成正比。
　　评定距离丈量精度通常采用相对误差
　　∵
　　∴ 根据和差函数的误差传播定律，可得：
　　取2倍的中误差作为的容许误差，则
　　取：（地形良好地区的经验数据）
　　D=200m （常用长度）
　　可计算出一般丈量的相对极限误差
　　二、角度测量的精度
　　1、水平角观测的精度
　　DJ6----代表一测回观测一个方向的中误差为±6″，即
　　下面根据误差传播定律推导J6上、下半测回角差的限差：
　　∵
　　∴ 半测回方向值的中误差
　　又∵
　　∴　半测回水平角值中误差
　　同理：∵
　　∴　半测回角值较差△β的中误差
　　以两倍的中误差作为半测回角值较差的限差△β容
　　则：
　　上述推导即是J6上、下半测回角差的限差的理论根据。
　　2、多边形角度闭合差限差的规定
　　多边形的角度闭合差可用下式计算：
　　取2倍中误差作为的容许限差，即
　　大家可参看P112页表7-4。
　　三、水准测量的精度
　　若在路线L上进行水准测量，设测站数为n，测得的高差为h，则：
　　由于等精度观测，每站的高差中误差相同，均为m站，依据误差传播定律有：
　　结论：水准测量的中误差与测站数的平方根成正比。
　　设两水准点间的路线长度为L(km)，每站的距离为S(km)，则有
　　式中：1/s----每公里的测站数
　　-----每公里水准测量的中误差，即单位观测中误差，用μ表示。
　　则：
　　结论：水准测量的高差中误差与水准路线的距离的平方根成正比。
　　例题：已知四等水准测量每公里往返高差的平均值中误差
　　则每公里单程水准测量中误差：
　　L公里单程高差的中误差为：
　　L公里往返高差的中误差为：
　　取2倍中误差作为往返测量高差较差的极限误差，则：
　　上述推导即是规范规定的四等水准测量往返测量的较差（闭合差）的限差为±20√Lmm的理论根据。

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