本文介绍应用动态规划算法求解 cutting stock 问题的案例。
类似地，动态规划算法也可以用来求解背包问题。

其他动态规划的应用实例：
动态规划的应用（一）：最短路问题
动态规划的应用（三）：字符串相关问题
动态规划的应用（四）：LeetCode 1900. 最佳运动员的比拼回合
动态规划的应用（五）：LeetCode 413, 446. 等差数列划分
动态规划的应用（六）：矩阵相关问题

例

钢条的价格如下表所示，求最大利润。（选自《算法导论》）

长度	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
价格	1	5	8	9	10	17	17	20	24	30

递归版本

动态规划的递归版本代码如下：

from typing import Listdef cut_run(p: List[int]) -> int:r = [0 for _ in range(len(p))]  # "备忘录"，存储各长度下的最优解return cut(p=p, n=len(p), r=r)def cut(p: List[int], n: int, r: List[int]) -> int:if r[n - 1] > 0:  # 查找备忘录，避免重复遍历解空间return r[n - 1]if not n:return 0q = 0for i in range(1, n + 1):q = max(q, p[i - 1] + cut(p, n - i, r))  # 递归方程r[n - 1] = q  # 更新备忘录print("备忘录元素 {0} 更新为 {1}，列表 {2}".format(n, q, r))return qp_ = [1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30]print()
q_ = cut_run(p=p_)
print()
print("最大利润： {}".format(q_), '\n')

运行结果：

备忘录元素 1 更新为 1，列表 [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
备忘录元素 2 更新为 5，列表 [1, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
备忘录元素 3 更新为 8，列表 [1, 5, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
备忘录元素 4 更新为 10，列表 [1, 5, 8, 10, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
备忘录元素 5 更新为 13，列表 [1, 5, 8, 10, 13, 0, 0, 0, 0, 0]
备忘录元素 6 更新为 17，列表 [1, 5, 8, 10, 13, 17, 0, 0, 0, 0]
备忘录元素 7 更新为 18，列表 [1, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 0, 0, 0]
备忘录元素 8 更新为 22，列表 [1, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 22, 0, 0]
备忘录元素 9 更新为 25，列表 [1, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 22, 25, 0]
备忘录元素 10 更新为 30，列表 [1, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 22, 25, 30]最大利润： 30

非递归版本

动态规划的非递归版本代码如下：

from typing import Listdef cut(p: List[int]) -> int:r = [0 for _ in range(len(p) + 1)]for i in range(1, len(p) + 1):  # 外循环：求备忘录列表 rq = 0for j in range(1, i + 1):  # 内循环：求备忘录列表 r 各元素的值q = max(q, p[j - 1] + r[i - j])r[i] = qprint("备忘录元素 {0} 更新为 {1}，列表 {2}".format(i + 1, q, r))return r[len(p)]p_ = [1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30]print()
q_ = cut(p=p_)
print()
print("最大利润： {}".format(q_), '\n')

显然，运行结果与递归版本相同。

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c语言动态规划最优二叉搜索树,最优二叉搜索树（动态规划）
#include #include #include #include #include enum:int { MAXVALUE=999 }; template class BestTree{ pri ...

动态规划的应用（二）：cutting stock 问题

例

递归版本

非递归版本

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