用二次型捞起一道自主招生题目

在复习二次型的时候记忆涌动，依稀记得是2019年暑假在河北师大培训的时候一位在师大毕业的姓于的老师讲的、当年刚刚考过的上海交大的自主招生题。经过关键词搜索，找到题目如下：

题目是考高中生的，真的要做肯定也是待定系数搞均值不等式。但是作为学了二次型的大学生(骄傲脸)，我们想起了结论：对于实对称矩阵A和向量a，a^T·A·a/(|a|² )的最大值是A的最大特征值。

本题中分母显然是一个向量(x,y,z)模长平方的形式，所以我们去考察分子作为二次型对应的矩阵的特征值，经过计算得特征值为0，±√5/2，所以答案是√5/2。

能用新知识解决旧问题的感觉完全嘿嘿。

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