一、关于浮点数与精度

这一部分，我们要明确c++的三种浮点类型，以及为什么会有精度误差，怎么降低精度误差。

float double 以及long double

随着计算机的发展，我们基本以及淘汰了 float，所以我们只讲 double 和 long double。（不会把？不会吧！不会还有人在用float吧！！），在 IEEE-754 标准中，规定 double 是 64bit，其中一个 bit 用于表示正负，11位用于表示科学计数法，剩下的表示内容，附上图片。

由于在计算机内部是用二进制表示数字的，当我们要表示 1 4 \dfrac{1}{4} 41 的时候，计算机可以用 2 − 2 2^{-2} 2−2 来表示。
但是，当我们想表示 1 3 \dfrac{1}{3} 31 的时候，计算机会采用
2 − 2 + 2 − 3 + 2 − 4 + ⋯ + 2 − ∞ 2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}+\cdots +2^{-\infty} 2−2+2−3+2−4+⋯+2−∞ ，按照极限理论，只要位数无限多，这两式子就相等。

那么问题来了，计算机只给了 52 位用于存储数据，我们就只能含泪丧失精度，在运算的时候这个损失还会进一步加大。在计算几何里，经常会有精度问题导致答案错误，为了降低精度误差，我们采用以下原则

能使用整数就不使用浮点数；
别用 float，视情况使用 long double；
减少数学函数的使用（如三角函数，开方）；
比较时加入容限；
尽量通过判定而非计算去得到答案（这里你可能看不懂，但我下面会讲一个例子来解释它）。

关于 long double，不同编译器实现不一样，而且跟编译器的位数有关，但一般都比 double 位数多,所以当精度达不到你预期的时候请开 long double。

二、关于除 0

请大家务必记住 double 运算中编译器是不会对你的除 0 操作进行报错的！
请大家务必记住 double 运算中编译器是不会对你的除 0 操作进行报错的！
请大家务必记住 double 运算中编译器是不会对你的除 0 操作进行报错的！
重要的事情说三遍！在 double 类运算中，除以 0 一般会产生两种结果，一种是无穷数 inf，另一种是非数 NaN，具体如何触发请移步百度。
下面是关于 NaN 的比较的一张表

可以看到，除了 == 操作，其他的操作都返回的 false。当你发现你的运行程序有一些奇怪的 bug 的时候，你应该排查下是否有除 0 问题。

3、关于模板

写计算几何板子必须高度可靠，请大伙努力尝试构建属于自己的板子，在理解的基础上有限度的使用别人的板子。

4、一些关于点，线，多边形你必须知道的基础知识

1、关于向量

向量的点积（Dot product）
相信大家在中学都学过向量的点，这里就不做赘述。

向量的叉积（Cross product）
叉积的几何意义为一条方向垂直两线平面大小，其大小为 ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ sin ⁡ α |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \alpha ∣a ∣∣b ∣sinα。
，四指由 a ⃗ \vec{a} a 开始，指向 b ⃗ \vec{b} b ，拇指的指向就是 a ⃗ × b ⃗ \vec{a}\times \vec{b} a ×b 的方向，这一性质被称作 to-left 测试，是计算几何经常运用的向量性质之一。

2、点，线的定义

我们通常这样子来定义线段和点

struc Point
{   double x,y;
}
struct Line
{Point s,v;
}

值得注意的是，由于计算几何中大量运用了向量的性质，在线以及线段的定义里，我们推荐使用的是用一个端点一个向量的方法来定义。

3、比较常见的点线关系判断以及线线关系判断

判断点与直线的关系
通过 to-letf 测试，我们可以得知，如果一个点不在直线上，那么该点与直线上任意一点的所连成的直线的向量（我们命名为 a ⃗ \vec{a} a ），与该直线的向量（我们命名为 b ⃗ \vec{b} b ）， a ⃗ × b ⃗ \vec{a}\times \vec{b} a ×b 的叉积不为0。反之我们判断其处于直线上。

判断点与线段的关系
我们先判断点是否处于直线上，在判断点的坐标是否处于线段的范围内，即可判断点是否处于直线
判断点与射线
同样的，我们先判断点是否处于与射线相同的直线上，然后利用向量叉积，注意是叉积的性质，来判断出发点到点构成的向量在射线上的投影，如果是负数就不处于，反之处于。
线线相交
直接 to-left 我相信你们懂的
线与线段相交
判断线段的两个端点是否在直线的两侧
线段与线段相交
这是一个重点，请手动画图去理解。为了加强理解我将先抛出一个错误的做法。
假设给你直线AB,CD，按照上面线与线段相交的例子，那我们是不是可以分别判断 AB 在 CD 两侧，CD 在 AB 两侧，这样子我们就可以判断线段是否相交了。

考虑不到位

你没考虑以下特殊情况，即三点共线四点共线
网上流传的做法是先进行快速排斥实验，再 AB、CD 互相判断是否在相互在直线两侧。快速排斥实验是用于快速判断两矩形是否相交的实验
如下图

当以 AB、CD 为对角线的矩阵不相交的时候，那么两线段必然不相交，这包括了上面四点共线的特殊情况

但是看看这代码量吧

所以我们为什么不直接选择特判呢，当线段 A A A 与 B B B 处于同一直线的时候，看他们是否有一个端点在某另一个线段上，代量不就小多了。

求线与线，线与线段，线段与线段的交点
首先第一步要做的就是判断是否有交点。然后再求交，网上常用的是一般式求交点，代码长，计算多，一般都是用面积之比的方法推导出交点的式子
俊杰老师用正弦推导了类似的的式子

以上就是点与线，相关的练习可以看下方链接
戳这里
课程的第一章里其实还涉及到部分点与多边形的知识，同时也有对应的题目，其中讲了一个判断点在多边形内部的重要算法——光线回转法，对此我想专门写一个博客，到时候和关于牛客的练习的题解一起放出来，所以本博客到此为止。

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