上一期介绍了几个经典的非线性系统，并给出了他们在三维相空间的各种表现。

但是随着维度增加到三维甚至更高维，光绘制出相空间已经不足以直观的了解系统的形态。我们也很难对着一坨烂七八糟的轨线在论文里水字数。因此有必要引入一个新的可视化方法，对系统进一步降维，提炼出更简洁的信息。

庞加莱截面就是基于这个思想被提出来的。对于一个周期运动的系统，在相空间的运动表现为一圈又一圈的转动。我们定义一个截面（一般是平面），当轨线穿过这个面时，把交点记录下来。当记录足够多的交点后，这些交点形成的图像就是庞加莱截面的图像。而这个截面就是庞加莱截面。

一般只记录由向正向负穿越截面的交点，不记录由负向正穿越的点。这样，就可以得到下面的规律：对于单周期运动，轨线为一个近似圆形，庞加莱截面上为一个点；对于2周期运动，轨线绕两圈才会闭合，穿过庞加莱截面两次，表现为2个点；对于周期N的运动，庞加莱截面上有N个点。

对于混沌运动，截面上的点理论上会有无限多。如果截面上的点形成了一条线，则把这种运动叫做拟周期运动。如果庞加莱截面上的点形成了一片二维图形，甚至还存在分形结构，则可以判断是典型的混沌运动。

单纯的说可能不太直观，这里用之前的duffing方程举个例子。

将Duffing方程改写为下面的三维形式：

然后和前面一样，用龙格库塔方法求解即可。

取[δ,γ,ω]=[1.5,1,1]，其三维的相空间和对应的庞佳莱截面如下：

三维的轨线图为近似一个圆。绿色的面就是定义的庞加莱截面（当然实际上应该是一个无限大的平面，这里为了展示只画了一部分）。这时对应的运动为典型的周期运动，庞加莱截面上只有一个交点。

当取[δ,γ,ω]=[1.35,1,1]时，其三维的相空间和对应的庞佳莱截面如下：

此时的运动变为周期2的运动，对应的二维相平面上的投影（下面黑色的），为一个交叉的双环。这种周期2的运动与庞加莱截面有2个交点。

当取[δ,γ,ω]=[1.15,1,1]时，其三维的相空间和对应的庞佳莱截面如下：

此时运动变为混沌运动，对应的二维相平面投影为一个混沌的8字型堆叠的图案。而庞加莱截面上的点则似乎很有规律的分布着。

单独将截面上的点绘制出来，可以得到：

庞加莱截面上的点以线的方式分布着，可以认为这种运动为一种准周期运动。

如果取[δ,γ,ω]=[0.1,0.35,1.4]时，系统会进入混沌状态，其庞加莱截面演示图如下：

其庞加莱截面图像如下。对于复杂的庞加莱截面，如果想要绘制的好看，需要计算非常多的点，这也意味着非常大的计算时间。

此时，庞加莱截面还有很多分形结构，其局部放大图如下

计算庞加莱截面的方法可以分为两步：1计算出轨线 2计算出线与面的交点。

额外插一句，Duffing方程如果翻到开头，去看它的形式，可以看到它是一个非自治系统，有一个周期性外力在方程里。这里绘制庞加莱截面的处理方式，是把周期性力单独提出来，定义为z，然后绘制z=0的图像。这时每个截面上的点对应时间t，是一个以周期（2π/ω）为等差的数列。

还有一种降维方法，叫做频闪采样法，就是针对这类型含有周期驱动力的方程的。在计算完轨线之后，直接取t0,t0+T,t0+2T,t0+3T,...这样的时间序列，其中T为驱动周期，这些点天然的在一个庞加莱平面上。因此，这样可以大大的简化庞加莱图像的计算，缩短计算时间。方程本身甚至也可以降维到2维，如下面所示。虽然下面的方程已经看不到高维空间截面的样子，但是频闪采用法本质上还是庞加莱截面。

下面程序是通用的计算庞加莱截面的matlab程序：

%庞佳莱截面
%截面采用公式Ax+By+Cz+D=0;的形式
%采用杜芬方程演示
clear
clc
close all
%第一步，计算出轨迹
h=5e-3;
x0=0:h:1600;
y0=[0.1;0.1;1];%最后一项是cos(w*t)，当t=0时必须为1.
[y1,Output]=ODE_RK4_hyh(x0,h,y0,[1.15,1,1]);
%[1.5,1,1],[1.35,1,1],[1.15,1,1],[0.1,0.35,1.4]
Lx=y1(1,2000:end);
Ly=y1(2,2000:end);
Lz=y1(3,2000:end);Plane=[0;0;1;0];%一般情况下是个垂直某个轴的平面。这里是z=0
[tP_List,yP_List]=Solve_Poincare(x0,y1,Plane);%计算Poincare平面上的点%绘图
%1庞加莱截面
%最开始几个点还没有稳定，没有体现出系统特点，所以放弃，从第10个点开始
figure()
plot(yP_List(1,10:end),yP_List(2,10:end),'.')
xlim([-1,0.6])
ylim([-0.8,0.2])%2投影的二维相平面
figure()
plot(Lx,Ly)%3展示用的示意图
figure()
hold on
patch([Lx,nan],[Ly,nan],[Lz,nan],[Lx+Ly,nan],...'EdgeColor','interp','Marker','none','MarkerFaceColor','flat','LineWidth',0.8,'FaceAlpha',1);
plot3(yP_List(1,10:end),yP_List(2,10:end),zeros(size(yP_List(2,10:end))),...'.','MarkerSize',8,'color','r')
patch([-1.6,0.4,0.4,-1.6],[-0.7,-0.7,0.0,0.6],[0,0,0,0],[1,1,1,1],...'FaceAlpha',0.8,'EdgeColor',[0.5,0.5,0.5])
view([-17,39])
box on
grid on
%绘制相图
set(gcf,'position',[300 200 560 500])
xlim([-2,2])
zlim([-3,1])
plot3( Lx,Ly,zeros(size(Ly))-3 ,'color','k')
hold offfunction [tP_List,yP_List]=Solve_Poincare(t,y,Plane)
%截面方程z=0
% Plane=[0;0;1;0];%一般情况下是个垂直某个轴的平面
%一般只记录从负到正穿越。如果想反向也记录，可以设置Plane=-Plane。
%第一步，计算出轨线y
%第二步，插值得到线与面的交点
yP_List=[];
tP_List=[];
Dis=DistancePlane(y,Plane);
N=size(y,2);
for k=1:N-1if Dis(k)<=0 && Dis(k+1)>0t0=t(k);t1=t(k+1);yP0=y(:,k);yP1=y(:,k+1);Dis0=Dis(k);Dis1=Dis(k+1);%一维线性插值，求Dis=0时的t和y%（相比较前面积分的4阶RK，这里用线性插值精度有点低）yP=yP0+(yP1-yP0)/(Dis1-Dis0)*(0-Dis0);tP=t0+(t1-t0)/(Dis1-Dis0)*(0-Dis0);%储存yP_List=[yP_List,yP];tP_List=[tP_List,tP];end
end
end%点到平面的距离
function Dis=DistancePlane(xk,Plane)
% xk，坐标点，如果是3维坐标，大小就是3*N的矩阵。
% Plane，平面，形如Ax+By+Cz+D=0形式的平面。N=size(xk,2);%计算总共多少个点
xk2=[xk;ones(1,N)];
Dis=dot(xk2,Plane*ones(1,N),1)./norm(Plane(1:end-1));
end%两点线性插值
function y=interp2point_linear(x0,x1,y0,y1,x)
y=y0+(y1-y0)/(x1-x0)*(x-x0);
end%两点3次插值
function y=interp2point_spline(x0,x1,y0,y1,x)
%y0包含y0的值和y0的导数,yy=y0(1),dy=y0(2)
xx0=x0;
xx1=x1;
yy0=y0(1);dy0=y0(2);
yy1=y1(1);dy1=y1(2);
cs = csape([xx0,xx1],[dy0,yy0,yy1,dy1],[1,1]);
y=ppval(cs,x);
endfunction [F,Output]=Fdydx(x,y,Input)
%形式为Y'=F(x,Y)的方程，参见数值分析求解常系数微分方程相关知识
%高次用列向量表示，F=[dy(1);dy(2)];y(1)为函数，y(2)为函数导数
%杜芬方程duffing，参见中国大学MOOC，北京师范大学-计算物理基础-77倒摆与杜芬方程
d=Input(1);
r=Input(2);
w=Input(3);dy(1)=y(2);
dy(2)=-y(1)^3+y(1)-d*y(2)+r*y(3);
dy(3)=-w*sin(w*x);F=[dy(1);dy(2);dy(3)];
Output=[];
endfunction [y,Output]=ODE_RK4_hyh(x,h,y0,Input)
%4阶RK方法
%h间隔为常数的算法
y=zeros(size(y0,1),size(x,2));
y(:,1)=y0;
for ii=1:length(x)-1yn=y(:,ii);xn=x(ii);[K1,~]=Fdydx(xn    ,yn       ,Input);[K2,~]=Fdydx(xn+h/2,yn+h/2*K1,Input);[K3,~]=Fdydx(xn+h/2,yn+h/2*K2,Input);[K4,~]=Fdydx(xn+h  ,yn+h*K3  ,Input);y(:,ii+1)=yn+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
Output=[];
end

下面是相同效果下，采用频闪采样法。Duffing方程也被降维为2维（其实也可以不变）

%庞佳莱截面
%截面采用频闪采样法
%采用杜芬方程
clear
clc
close all
%第一步，计算出轨迹
h=5e-3;
x0=0:h:1600;
y0=[0.1;0.1];%最后一项是cos(w*t)，当t=0时必须为1.
[y1,Output]=ODE_RK4_hyh(x0,h,y0,[1.15,1,1]);
Lx=y1(1,:);
Ly=y1(2,:);
Lz=cos(1*x0);
%不用计算截面的方式
% Plane=[0;0;1;0];%一般情况下是个垂直某个轴的平面
% [tP_List,yP_List]=Solve_Poincare(x0,y1,Plane);%计算Poincare平面
%采用频闪采样法计算
tP_Ideal=3*pi/2:(2*pi/1):x0(end);
tP_List=zeros(1,length(tP_Ideal));
Ind_List=zeros(1,length(tP_Ideal));
for k=1:length(tP_Ideal)[~,Ind]=min(abs( tP_Ideal(k)-x0 ));Ind_List(k)=Ind;tP_List(k)=x0(Ind);
end
yP_List=y1(:,Ind_List);%绘图
%3展示用的示意图
figure()
hold on
% plot3(y1(1,:),y1(2,:),y1(3,:))
patch([Lx,nan],[Ly,nan],[Lz,nan],[Lx+Ly,nan],...'EdgeColor','interp','Marker','none','MarkerFaceColor','flat','LineWidth',0.8,'FaceAlpha',1);
plot3(yP_List(1,10:end),yP_List(2,10:end),zeros(size(yP_List(2,10:end))),...'.','MarkerSize',8,'color','r')
patch([-1.6,0.4,0.4,-1.6],[-0.7,-0.7,0.0,0.6],[0,0,0,0],[1,1,1,1],...'FaceAlpha',0.8,'EdgeColor',[0.5,0.5,0.5])
view([-17,39])
box on
grid on
%绘制相图
set(gcf,'position',[300 200 560 500])
xlim([-2,2])
zlim([-3,1])
plot3( Lx,Ly,zeros(size(Ly))-3 ,'color','k')
hold offfunction [F,Output]=Fdydx(x,y,Input)
%形式为Y'=F(x,Y)的方程，参见数值分析求解常系数微分方程相关知识
%高次用列向量表示，F=[dy(1);dy(2)];y(1)为函数，y(2)为函数导数
d=Input(1);
r=Input(2);
w=Input(3);
%降维后的Duffing方程
dy(1)=y(2);
dy(2)=-y(1)^3+y(1)-d*y(2)+r*cos(w*x);
% dy(3)=-w*sin(w*x);
F=[dy(1);dy(2)];
Output=[];
endfunction [y,Output]=ODE_RK4_hyh(x,h,y0,Input)
%4阶RK方法
%h间隔为常数的算法
y=zeros(size(y0,1),size(x,2));
y(:,1)=y0;
for ii=1:length(x)-1yn=y(:,ii);xn=x(ii);[K1,~]=Fdydx(xn    ,yn       ,Input);[K2,~]=Fdydx(xn+h/2,yn+h/2*K1,Input);[K3,~]=Fdydx(xn+h/2,yn+h/2*K2,Input);[K4,~]=Fdydx(xn+h  ,yn+h*K3  ,Input);y(:,ii+1)=yn+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
Output=[];
end

效果图如下，可以看到两种方法是一致的。

频闪采样法适合周期驱动的非自治方程。而一般形式的庞加莱截面求交点法，试用范围会更广一些。

参考资料：

[1]刘秉正，非线性动力学与混沌基础[M]

[2]Computing accurate Poincaré maps[J]. PHYSICA D, 2002, 171(3):127-137.