【学习笔记】AGC008

Tetromino Tiling

Black Radius

巧妙的题目
sb翻译害我想了好久
设f(x,d)f(x,d)f(x,d)表示距离xxx小于等于ddd的点的集合
如果f(x,d1)=f(y,d2)f(x,d1)=f(y,d2)f(x,d1)=f(y,d2)
那么对于任意x→yx\to yx→y路径上的点zzz，存在ddd满足f(z,d)=f(x,d1)=f(y,d2)f(z,d)=f(x,d1)=f(y,d2)f(z,d)=f(x,d1)=f(y,d2)
并且ddd值是呈VVV型的（真的好难证 qwq
证明可以考虑f(x,d)f(x,d)f(x,d)的唯一性
那么对于若干同构的f(x,d)f(x,d)f(x,d)，我们只在ddd值最小处计数
如果ddd是最小的，那么应该满足对于任意与xxx相邻的yyy，f(x,d)≠f(y,d−1)f(x,d)\ne f(y,d-1)f(x,d)=f(y,d−1)
设sz[x]sz[x]sz[x]表示从xxx出发最长链长度，sz2[x]sz2[x]sz2[x]表示从xxx出发次长链的长度
mx[x]mx[x]mx[x]表示节点xxx最大的合法的ddd
那么mx[x]=min⁡(sz[x]−1,sz2[x]+1)mx[x]=\min(sz[x]-1,sz2[x]+1)mx[x]=min(sz[x]−1,sz2[x]+1)
答案是∑(mx[x]+1)+1\sum{(mx[x]+1)}+1∑(mx[x]+1)+1
如果只有一部分点能作为根呢
考虑对于那些最小的ddd，找到一个最优秀的替代点
不难发现ddd具有单调性
设lw[x]lw[x]lw[x]表示节点xxx最小的能找到替代点ddd
如果f(x,d)f(x,d)f(x,d)能找到替代点，则存在与xxx相邻的yyy，满足f(x,d)=f(y,d+1)f(x,d)=f(y,d+1)f(x,d)=f(y,d+1)
那么lw[x]=min⁡y∈son[x](max⁡(sz[y]+1,lw[y]−1))lw[x]=\min_{y\in son[x]}(\max(sz[y]+1,lw[y]-1))lw[x]=miny∈son[x](max(sz[y]+1,lw[y]−1))
显然我们需要换根
然后就做完了
答案是∑(mx[x]−lw[x]+1)+1\sum(mx[x]-lw[x]+1)+1∑(mx[x]−lw[x]+1)+1
复杂度O(n)O(n)O(n)

Division into Two

振作起来
巧妙的限制转化
不妨将任意方案抽象成一个010101序列
直接转移比较恶心
毋宁放弃直接转移
不妨设A≥BA\ge BA≥B
首先根据鸽巢原理，对于任意 i≥3i\ge 3i≥3 有 s[i]−s[i−2]≥Bs[i]-s[i-2]\ge Bs[i]−s[i−2]≥B
有了这个性质就可以转移了
dp[i]dp[i]dp[i]表示前iii个数，第iii个数在XXX集合中的方案数
显然合法的转移 [l,r][l,r][l,r] 可以用前缀和优化
复杂度 O(n)O(n)O(n)

Rectangle

鸽巢原理构造
应该是不困难的
显然要估算一下值域

Sequence Growing Easy

Sequence Growing Hard

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