线性无关向量不一定正交

2024-06-16 00:49:00

1. 线性无关向量组定义¹

^{如果x1\pmb{x}_1xxx1，x2\pmb{x}_2xxx2，...\pmb{...}.........，xr(r≥1)\pmb{x}_r(r\ge1)xxxr(r≥1)为线性空间VVV中一组向量，k1{k}_1k1，k2{k}_2k2，...{...}...，kr{k}_rkr是数域PPP中的数，那么向量x=k1x1+k2x2+...+krxr(1)\pmb{x}=k_1\pmb{x}_1+k_2\pmb{x}_2+\pmb{...}+k_r\pmb{x}_r \tag{1}xxx=k1xxx1+k2xxx2+.........+krxxxr(1) 称为向量x1\pmb{x}_1xxx1，x2\pmb{x}_2xxx2，...\pmb{...}.........，xr\pmb{x}_rxxxr的一个线性组合，有时也可以说向量x\pmb{x}xxx可用向量组x2\pmb{x}_2xxx2，...\pmb{...}.........，xr\pmb{x}_rxxxr线性表示。

如果式(1)(1)(1)中的k1{k}_1k1，k2{k}_2k2，...{...}...，kr{k}_rkr不全为零，且使k1x1+k2x2+...+krxr=0(2)k_1\pmb{x}_1+k_2\pmb{x}_2+\pmb{...}+k_r\pmb{x}_r = \pmb{0} \tag{2}k1xxx1+k2xxx2+.........+krxxxr=000(2)则称向量组x1\pmb{x}_1xxx1，x2\pmb{x}_2xxx2，...\pmb{...}.........，xr\pmb{x}_rxxxr线性相关，否则就称其为线性无关。换句话说，如果等式(2)(2)(2)只有在k1=k2=...=kr=0k_1 = k_2 = \pmb{...} = k_r = 0k1=k2=.........=kr=0时才成立，则称x1\pmb{x}_1xxx1，x2\pmb{x}_2xxx2，...\pmb{...}.........，xr\pmb{x}_rxxxr线性无关。}

^{2. 以两个线性无关向量为例}

^{v1=(−1,2,−1),v2=(0,2,−1)\pmb{v}_1=(-1,\;2,-1), \pmb{v}_2=(\;\;\;0,\;2,-1)vvv1=(−1,2,−1),vvv2=(0,2,−1)向量v1,v2\pmb{v}_1,\pmb{v}_2vvv1,vvv2的线性组合为

v=k1v1+k2v2=k1(−1,2,−1)+k2(0,2,−1)\pmb{v}=k_1\pmb{v}_1+k_2\pmb{v}_2=k_1(-1,2,-1)+k_2(0,2,-1)vvv=k1vvv1+k2vvv2=k1(−1,2,−1)+k2(0,2,−1)当v\pmb{v}vvv为0\pmb{0}000时，可得到如下线性方程组

{−k1+0=02k1+2k2=0−k1−k2=0\begin{cases} -k_1+0 \;\;\;=0 \\ \;2k_1+2k_2=0 \\ -k_1-\;\;k_2=0 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧−k1+0=02k1+2k2=0−k1−k2=0

只有当k1,k2\pmb{k}_1,\pmb{k}_2kkk1,kkk2同时为0时，才满足上述线性方程组，因此向量v1,v2\pmb{v}_1,\pmb{v}_2vvv1,vvv2线性无关，但向量v1,v2\pmb{v}_1,\pmb{v}_2vvv1,vvv2的内积(v1,v2)=0+4+1=5≠0(\pmb{v}_1,\pmb{v}_2)=0+4+1=5\ne0(vvv1,vvv2)=0+4+1=5=0，因此并不正交。}

^{线性无关向量组可使用施密特(Schmidt)正交化方法进行正交化。}

^{方保镕，周继东，李医民. 矩阵论. 北京：清华大学出版社，2004.11(P8) ↩︎}

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