leetcode1553. 吃掉 N 个橘子的最少天数

厨房里总共有 n 个橘子，你决定每一天选择如下方式之一吃这些橘子：

吃掉一个橘子。
如果剩余橘子数 n 能被 2 整除，那么你可以吃掉 n/2 个橘子。
如果剩余橘子数 n 能被 3 整除，那么你可以吃掉 2*(n/3) 个橘子。

每天你只能从以上 3 种方案中选择一种方案。

请你返回吃掉所有 n 个橘子的最少天数。

示例 1：

输入：n = 10
输出：4
解释：你总共有 10 个橘子。
第 1 天：吃 1 个橘子，剩余橘子数 10 - 1 = 9。
第 2 天：吃 6 个橘子，剩余橘子数 9 - 2*(9/3) = 9 - 6 = 3。（9 可以被 3 整除）
第 3 天：吃 2 个橘子，剩余橘子数 3 - 2*(3/3) = 3 - 2 = 1。
第 4 天：吃掉最后 1 个橘子，剩余橘子数 1 - 1 = 0。
你需要至少 4 天吃掉 10 个橘子。

示例 2：

输入：n = 6
输出：3
解释：你总共有 6 个橘子。
第 1 天：吃 3 个橘子，剩余橘子数 6 - 6/2 = 6 - 3 = 3。（6 可以被 2 整除）
第 2 天：吃 2 个橘子，剩余橘子数 3 - 2*(3/3) = 3 - 2 = 1。（3 可以被 3 整除）
第 3 天：吃掉剩余 1 个橘子，剩余橘子数 1 - 1 = 0。
你至少需要 3 天吃掉 6 个橘子。

示例 3：

输入：n = 1
输出：1

示例 4：

输入：n = 56
输出：6

提示：

1 <= n <= 2*10^9

方法：递归+记忆化

思路：

本题首先可以想到的方法就是动态规划。首先简洁概括一下题意，如果橘子数是3的倍数，那么可以吃一个，也可以吃完剩n/3个；如果是二的倍数，可以吃一个，也可以吃一半，剩n/2个；其他情况只能吃一个。

首先我们需要证明一个贪心的思想，如何选择可以吃的最快。首先假设有n个橘子，那么我们最慢的情况是每天只吃1个，那么需要n天。如果假设我们有k天只吃1个橘子，然后n-k满足是3的倍数，那么我们从n到(n-k)/3，一共用了k+1天。

**我们需要证明，这个k<3，即只要遇到3的倍数，我们就应该选择吃掉2/3的橘子，即比如有7个橘子，我们到6的时候就选择吃掉2/3的橘子；**而不是等到每天吃一个剩3的时候再选择，这就是贪心的思想。

下面我们进行证明，如果k >= 3，由上面的分析，**我们从n到(n-k)/3，一共用了k+1天。**因为k>=3，**我们可以在k-3的时候就吃掉2/3。**那么我们从n到(n-k)/3 + 1，一共需要k-2天，再只用一天吃掉一个橘子，就可以达到(n-k)/3。因此一共只用了k-1天。这就表明了当遇到3的倍数就吃掉2/3的橘子才是最优的选择，这就是贪心的思想。

与上面的想法一样，对于橘子数是2的倍数的时候，同样也是，只要遇到橘子数是2的倍数，那么就吃掉一半，也是贪心的思想。但是我们是应该选择遇到3的倍数吃掉2/3，还是遇到2的倍数吃掉一半，这两者之间无法比较。

因此，假设dp[n]表示将n个橘子吃掉需要的最少天数，那么这个值可能是找到2的倍数时候，也可能是找到3的倍数的时候。那么，我们可以得到状态转移方程：
dp[n]=min(n%3+dp[n/3],n%2+dp[n/2])+1dp[n] = min(n\%3\ + dp[n/3]\ ,n\%2 \ + dp[n/2]) + 1 dp[n]=min(n%3 +dp[n/3] ,n%2 +dp[n/2])+1
求解动态规划的方法有两种，一种是自顶而下的递归+记忆化的方法，另一种是自底而上的dp数组的方法。我们应该使用前者，因为对于dp数组，如果我们求dp[n]，那么我们需要将0-n的所有dp值都求出，这里面会存在许多“只吃一个橘子”的操作，根据数据范围，时间和空间都无法承受。因此我们应该使用递归的方法，这样计算量会少很多。

代码：

Python3：

class Solution:def minDays(self, n: int) -> int:memo = {0:0,1:1}def dfs(n):if n in memo:return memo[n]ans = min(dfs(n//2)+n%2 , dfs(n//3)+n%3) + 1memo[n] = ansreturn ansreturn dfs(n)

cpp：

class Solution {public:unordered_map<int,int>m;//离散化int dfs(int i){if(i==0)return 0;//出口if(m.count(i))return m[i];//dpreturn m[i]=min({1+i%2+dfs(i/2),1+i%3+dfs(i/3),i});//分别对应/3,/2,-1.}int minDays(int n) {return dfs(n);}
};

结果：