【数学基础】正态分布为什么如此常见？

文章目录：

1 生活中的正态分布
2 名字由来
3 剖析细节
4 有偏分布

每个人都相信它（正态分布）：实验工作者认为它是一个数学定理，数学研究者认为它是一个经验公式。----加布里埃尔·李普曼

本文主要是为了之后讲解最小二乘法、岭回归等优化方法做个铺垫。

1 生活中的正态分布

生活中女性的身高，

假设你有200个相亲对象，然后你老妈搜集了他们所有人的身高信息，然后以5cm为单位，来数一数每5cm各有多少人。接着用身高为横轴，人数为纵轴，画了下面的图：

这种数据分布就是正态分布，正态分布像是一个小山，两头低，中间高，左右对称，大部分数据集中在平均值，小部分分布在两端

实际上人的分高确实是符合正态分布的。2017年我国18岁及以上成年男性的平均身高是167.1cm，所以167.1的身高就是中国普遍男性身高的数值，如果是150cm或者是190cm都是人数比较少的，处于分布两端的人群。

神奇的地方在于，不管是人的身高，手臂长度，肺活量，还是他们的考试成绩，都符合正态分布。

这是为什么呢？

2 名字由来

正太正态分布为什么不叫“正点”呢？

这个要从这个东西说起，下面这个东西

这个东西叫做高尔顿钉板，你猜猜这是谁发明的？没错，就是维多利亚时期的学者Francis Galton（高尔顿）。他做了这个钉板之后，发现这种形状适用于很多数据，所以他将其命名为“正态分布”（The Normal Distribution）.

正态分布的英文“normal”，表示常见的，典型的 ，用来表示这种分布能代表多种多样的数据类型。

3 剖析细节

高尔顿钉板中，每一个小珠子下滚的时候，撞到柱子就会随机的向左走或者向右走。然后一个小珠子一路滚下来会选择多次方向，最终的分布就会接近正态分布。

关键点在于，一个事情经过多个随机的因素的影响，结果似乎就是正态分布 。

女性身高可能会受父母身高的影响、饮食习惯的影响、是否喜好运动的影响 等等，这些影响类比成高尔顿钉板中的柱子。

此外，还要注意一点就是高尔顿钉板 中，所有珠子的初始状态一致。

4 有偏分布

现实中，也有很多有偏分布，比如在医学中的检测。有一种说法是因为在细胞中，细胞分类是乘法而非加法。所以用log方法来将乘法变成加法，所以log方法也可以把有偏数据变成正态分布。

对横坐标取log：

【个人感想】人生也是如此，左边是贫穷，右边是富有。人生面临无数的随机选择，大部分人落在了中间位置，成为了一般人。少数运气不好的和运气好的人变成了特别穷的人和特别富有的人，但是大部分的我们变成了普通人。我们之所以努力，就是希望在每一次选择的时候，可以做出更好的选择，让我们的未来更好。共勉！

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