λ-矩阵（若尔当标准形的理论推论）

在复数域上讨论.

1.计算若尔当标准形的初等因子

若尔当块 $J_0=\left(\begin{matrix}\lambda_0&0&...&0&0\\ 1&\lambda_0&...&0&0\\ 0&1&...&0&0\\ \vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\ 0&0&...&1&\lambda_0 \end{matrix} \right )_{n\times n}$ 的初等因子是 $(\lambda -\lambda_0)^n.$

事实上，考虑它的特征矩阵 $\lambda E-J_0=\left(\begin{matrix}\lambda-\lambda_0&0&...&0&0\\ -1&\lambda-\lambda_0&...&0&0\\ 0&-1&...&0&0\\ \vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\ 0&0&...&-1&\lambda-\lambda_0 \end{matrix} \right ).$ 显然 $\left | \lambda E-\lambda_0 \right |=(\lambda-\lambda_0)^n,$ 这就是 $\lambda E-J_0$ 的n级行列式因子，由于 $\lambda E-J_0$ 有一个n-1级子式是 $\left | \left(\begin{matrix}-1&\lambda-\lambda_0&...&0&0\\ 0&-1&...&0&0\\ \vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\ 0&0&...&-1&\lambda-\lambda_0\\ 0&0&...&0&-1 \end{matrix} \right ) \right |=(-1)^{n-1},$ 所以它的n-1级行列式因子是1，从而它一下各级的行列式因子全为1。因此，它的不变因子 $d_1(\lambda)=...=d_{n-1}(\lambda)=1,d_n(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^n.$ 由此即得， $\lambda E-J_0$ 的初等因子是 $(\lambda-\lambda_0)^n.$

2.计算若尔当形矩阵的初等因子

设 $J=\left(\begin{matrix}J_1\\ &J_2\\ &&\ddots \\ &&&J_S \end{matrix} \right )$ 是一个若尔当形矩阵，其中 $J_i=\left(\begin{matrix}\lambda_i&0&...&0&0\\ 1&\lambda_i&...&0&0\\ 0&1&...&0&0\\ \vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\ 0&0&...&1&\lambda_i \end{matrix} \right )(i=1,2,...,s).$ 既然 $J_i$ 的初等因子是 $(\lambda-\lambda_i)^{k_i}(i=1,2,...,s),$ 所以 $\lambda E-J_i$ 与 $\left(\begin{matrix}1\\ &1\\ &&\ddots \\ &&&1\\ &&&&(\lambda-\lambda_i)^{k_i} \end{matrix} \right )$ 等价。于是 $\lambda E-J=\left(\begin{matrix}\lambda E_{k_1}-J_1\\ &\lambda E_{k_2}-J_2\\ &&\ddots \\ &&&\lambda E_{k_s}-J_s \end{matrix} \right )$ 与 $\left(\begin{matrix}1\\ &\ddots \\ &&1\\ &&&(\lambda-\lambda_1)^{k_1}\\ &&&&1\\ &&&&&\ddots \\ &&&&&&1\\ &&&&&&&(\lambda-\lambda_2)^{k_2}\\ &&&&&&&&1\\ &&&&&&&&&\ddots \\ &&&&&&&&&&1\\ &&&&&&&&&&&(\lambda-\lambda_s)^{k_s} \end{matrix} \right )$ 等价，因此，J的全部初等因子是 $(\lambda-\lambda_1)^{k_1},(\lambda-\lambda_2)^{k_2},...,(\lambda-\lambda_s)^{k_s}.$ 这就是说，每个若尔当形矩阵的全部初等因子就是由它的全部若尔当块的初等因子构成的。

若尔当块被它的初等因子唯一决定。若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列的次序外被它的初等因子唯一决定。

定理10

每个n级的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。

证明：设n级矩阵A的初等因子为 $(\lambda -\lambda _1)^{k_1},(\lambda -\lambda _2)^{k_2},...,(\lambda-\lambda_s)^{k_s}(1)$ （其中 $\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _s$ 可能有相同的，指数 $k_1,k_2,...,k_s$ 也可能有相同的）.每一个初等因子 $(\lambda-\lambda_i)^{k_i}$ 对于一个若尔当块 $J_i=\left(\begin{matrix}\lambda_i&0&...&0&0\\ 1&\lambda_i&...&0&0\\ 0&1&...&0&0\\ \vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\ 0&0&...&1&\lambda_i \end{matrix} \right )_{k_i}(i=1,2,...,s).$ 这些若尔当块构成一若尔当形矩阵 $J=\left(\begin{matrix}J_1\\ &J_2\\ &&\ddots \\ &&&J_s \end{matrix} \right ).$ J的初等因子也是（1），因为J与A有相同的初等因子，所以它们相似。

如果另一若尔当形矩阵J'与 A相似，那么J'与A有相同的初等因子，因此J'与J除了其中若尔当块排列的次序外是相同的，由此即得唯一性。

定理11

设 $\mathfrak{A}$ 是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V帐必定存在一组基，使 $\mathfrak{A}$ 在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被 $\mathfrak{A}$ 唯一决定的。

证明：在V中任取一组基 $\varepsilon _1,\varepsilon _2,...,\varepsilon _n,$ 设 $\mathfrak{A}$ 在这组基下的矩阵是A，由定理10，存在可逆矩阵T，使 $T^{-1}AT$ 成若尔当形矩阵，于是在由 $(\eta _1,\eta _2,...,\eta _n)=(\varepsilon _1,\varepsilon _2,...,\varepsilon _n)T$ 确定的基 $\eta _1,\eta _2,...,\eta _n$ 下，线性变换 $\mathfrak{A}$ 的矩阵就是 $T^{-1}AT$ .由定理10，唯一性是显然的。

定理12

复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，A的初等因子全为一次的。

定理13

复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，A的不变因子都没有重根。

最后指出，上三角形矩阵 $\left(\begin{matrix}\lambda_0&1&0&...&0&0\\ 0&\lambda_0&1&...&0&0\\ \vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\ 0&0&0&&\lambda_0&1\\ 0&0&0&&0&\lambda_0 \end{matrix} \right )$ 也为若尔当块。

λ-矩阵（若尔当标准形的理论推论）相关推荐

c++求矩阵的秩_高等代数|第八章矩阵最小多项式与若尔当标准形
当公式或文字展示不完全时,记得向左←滑动哦! 本节主要介绍最小多项式与若尔当标准型的相关知识,这是考研中常考的一部分内容,几乎每个院校都有所考察,对于若尔当标准型,请大家先把第八章矩阵的知识掌握,这 ...
【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第2章-\lambda 矩阵与 Jordan 标准形
上一章回到目录下一章第2章-\lambda 矩阵与 Jordan 标准形 2.1 λ\lambdaλ 矩阵 2.1.1 λ\lambdaλ 矩阵的概念 2.1.2 λ\lambdaλ 矩阵在相抵 ...
《矩阵理论与方法》lambda矩阵及Jordan标准形
最近在学习<矩阵理论与方法>这一本书,以此笔记作为学习过程的记录. 一.λ\lambdaλ-矩阵定义1:设λ\lambdaλ是数域FFF上的一个未定元,f(λ)f(\lambda)f(λ ...
Matlab求矩阵的Jordan标准形
使用jordan函数示例 % 矩阵A >> A = [1 0 0; -1 2 -1; 0 0 2]%{A =1 0 0-1 2 -10 0 2%}% 求矩阵A的Jordan标准形J和相似 ...
矩阵论(二)——Jordan标准形
矩阵论(二)--Jordan标准形 1. 线性变换的对角矩阵表示 1.1 特征值与特征向量 1.2 特征子空间概念性质例题 1.3 线性变换矩阵的对角化概念例题 2 Jordan矩阵介绍 2 ...
[矩阵论] Unit 2. Jordan 标准形介绍 - 知识点整理
注: 以下内容均由个人整理, 不保证完全准确, 如有纰漏, 欢迎交流讨论参考: 杨明, 刘先忠. 矩阵论(第二版)[M]. 武汉: 华中科技大学出版社, 2005 2 Jordan 标准形介绍 2. ...
λ-矩阵（λ-矩阵在初等变换下的标准形）
设P是一个数域,λ是一个文字,做多项式环一个矩阵,如果它的元素是λ的多项式,即的元素,就称为λ-矩阵.把以数域P中的数为元素的矩阵称为数字矩阵. 定义1:如果λ-矩阵中有一个级子式不为零,而所有r+ ...
有理数域上lamada矩阵(方阵)化标准形的实现
前言:首先介绍一下lamada矩阵,其为高等代数或线性代数的内容.其中将λ-矩阵化成标准形在这门课中占据着举足轻重的地位.lamada矩阵即λ-矩阵,亦称多项式矩阵,是以多项式为元素的矩阵.而今天要研 ...
高等代数二次型与矩阵的合同(第6章)1 二次型,标准形,规范形
一.二次型(6.1) 1.概念: 2.非退化线性替换: 准确地说,应该是将 x x x用 C x Cx Cx带入(这样能保证代换前后二次型中的元不变),但习惯上都记为将 x x x用 C y Cy C ...

λ-矩阵（若尔当标准形的理论推论）

λ-矩阵（若尔当标准形的理论推论）相关推荐

最新文章

热门文章