CCCC/PTA 2019模拟赛 L3-3 至多删三个字符

这篇博文是本蒟蒻第一次写CSDN博客。
旨在熟悉一下CSDN博客的使用方式。
写的不好，各位客官见笑了
本篇写的题是今年4月份(具体时间记不清了)的一次模拟赛的L3-3
现在是PTA的CCCC练习集中的L3-020题
题干为：给定一个全部由小写英文字母组成的字符串，允许你至多删掉其中 3 个字符，结果可能有多少种不同的字符串？

其实看到这道题，第一反应就是，DP，而且一下子就能看出四大类状态删0个，删1个，删2个，删3个
但是想不明白过程，于是去想数学方法，显然数学方法不好整啊。。
好的，废话不多说，让我们开始讲一讲这道题吧。
这道DP其实并不难，想不通只能说明还没学懂DP。

一、明确状态与状态值
显然，状态值就是答案值，就是一个长为 i 的串操作后的串的种数，即dp[i]
由于状态细分开启第二维即 dp[i][0] dp[i][1] dp[i][2] dp[i][3] 之和为长度为 i 的串的答案值
然后我们再明确一下 1 2 3 表示什么既然目前手里的串是长度为 i 那你就不可能去删 i+1 i+2
所以 0:不删 1:前 i 个字符都被删过一次的状态 2:前 i 个字符任意两两都被删过一次的状态 3:同理
然后不要过多纠结这个值难以直接求之类的事情
你要知道就把这样一个完成状态当作已知量然后判断过程状态转移搞出来答案就都出来了

二、状态转移
此时等价于求已知长度为 i 的串的状态及答案然后我们求 i+1 的串的答案
看下面一个例子比方说我们要求一个长度 4 的串 icpc ，它是从长度 3 的 icp 转来的
icp 的状态1 是什么呢删过 i 删过 c 删过 p ，且答案值为 3 (cp,ip,ic) 那么转移到 icpc 的状态1呢
不删 c 或删 c 不删则继承答案值 dp[3][1]=3 ，删发现答案值 +1 所以答案为 dp[4][1]=4
icp 的状态2 是什么呢删过 ic ip cp ，且答案值为 3(p,c,i) 那么转移到 icpc 的状态2 呢
icp c 不删这个 c 则从前面删两个继承答案值 dp[3][2]=3，删掉它的话还得再从前面删一个
删掉这个 c 之后再从前三个删掉一个就是前三个删掉一个的值也就是 dp[3][1]=3 的值
好的于是你写下了 dp[4][2]=dp[3][2]+dp[3][1]=6 可惜这是错的正确答案是 5 显然有重的
为什么会有重复的呢让我们好好分析下吧。
dp[3][2] 对应剩 i c p 后面添一个 c 变成 ic cc pc
dp[3][1] 对应剩 ic ip cp 后面的 c 由于也被删掉剩的就是 ic ip cp
你发现 ic 重复了很明显是由于我们当前判断的这个 c 发生的重复导致的影响
我们应该减去这些东西但是怎么减呢
以上面那个为例它为什么会重复呢因为是删掉两个你删 cp 和 pc 由于 c 的重复导致结果相同
由于是两个不难发现其实就是因为这两个 c 隔着的距离是 4-2=2
事实上你写几组例子也会发现影响半径实际上就是 j
那么我们只需要判断 i-j<=k<=i-1 范围内的 s[k]==s[i] 的情况产生的影响即可
这时从 k 到 i-1 之间(包括边界) 的点都删掉才会出现重复
那么前 k-1 个还需要删掉 j-(i-k) 个所以去掉的种数就是 dp[k-1][j-(i-k)]
至于多次重复只需要找到最后一个k 即可因为一个 dp 就把前面的都包括了我相信读者能理解了就不细讲了
状态转移方程就直接看代码吧很清晰的举例时只谈了状态2 实际上状态3 也是完全一样很好理解就不讲了

顺便对样例(ababcc)打个表方便读者分析理解，横行为 i ,纵行为 j ，值为dp 值
1 2 3 4 5 6
0 1 1 1 1 1 1
1 1 2 3 4 5 5
2 0 1 2 4 8 9
3 0 0 1 2 6 10

AC代码如下：

#pragma GCC optimize(2)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
char s[1000005];
ll dp[1000005][4]={1};
int i,j,k,n;
int main()
{ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>(s+1);n=strlen(s+1);for(int i=1;i<=n;i++) for(j=0;j<=3;j++){dp[i][j]+=dp[i-1][j];if(j) dp[i][j]+=dp[i-1][j-1];for(k=i-1;k>=max(1,i-j);k--) if(s[i]==s[k]){dp[i][j]-=dp[k-1][j-(i-k)];break;}}cout<<1+dp[n][1]+dp[n][2]+dp[n][3]<<endl;return 0;
}

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