1.2 概率模型

概率模型

试验：概率模型都关联着一个试验，试验必产生一个结果
样本空间 Ω \Omega Ω: 试验的所有可能
事件A ：样本空间的子集
概率：确定了任何结果或结果的集合（事件）的似然程度(likelood)

表示：常用序贯树形图等序贯模型表示样本空间的试验结果

概率公理

非负性： ∀ A , P ( A ) ≥ 0 \forall A, P(A)\geq0 ∀A,P(A)≥0
可加性： ∀ A , B , A ∩ B = ∅ , P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) \forall A,B, A\cap B= \varnothing ,P(A\cup B)=P(A)+P(B) ∀A,B,A∩B=∅,P(A∪B)=P(A)+P(B)
归一化： P ( Ω ) = 1 P(\Omega)=1 P(Ω)=1

概率律的性质（由公理可推导)
a. A ⊂ B , 则 P ( A ) ≤ P ( B ) A\subset B, 则 P(A)\leq P(B) A⊂B,则P(A)≤P(B)
b. P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
c. P ( A ∪ B ) ≤ P ( A ) + P ( B ) P(A\cup B)\leq P(A)+P(B) P(A∪B)≤P(A)+P(B)
d. P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P ( A c ∩ B ) + P ( A c ∩ B c ∩ C ) P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(A^c\cap B)+P(A^c\cap B^c\cap C) P(A∪B∪C)=P(A)+P(Ac∩B)+P(Ac∩Bc∩C)

离散模型

离散概率律：样本空间由有限个可能的结果组成
P ( { S 1 , S 2 , . . . , S n } ) = P ( S 1 ) + P ( S 2 ) + . . . + P ( S n ) P(\{S_1, S_2,...,S_n\})=P(S_1)+P(S_2)+...+P(S_n) P({S1,S2,...,Sn})=P(S1)+P(S2)+...+P(Sn)
离散均匀概率律：样本空间由n个等可能性的试验结果组成
P ( A ) = 事件 A 中的试验结果数 n P(A) = \frac{事件A中的试验结果数}{n} P(A)=n事件A中的试验结果数

例1.3：
试验：连续两次抛掷一个骰子
样本空间：两次点数所有可能的集合
事件A：两次点数之和为偶数
事件B：两次点数相等
事件C：至少有一次得6

连续模型

试验的样本空间为连续集合

幸运轮 Ω = [ 0 , 1 ] \Omega=[0, 1] Ω=[0,1],指针指向0到1之间的一个刻度
概率模型 P ( [ a , b ] ) = b − a , [ a , b ] ⊆ Ω P([a, b])=b-a , [a, b] \subseteq \Omega P([a,b])=b−a,[a,b]⊆Ω
见面（几何模型）
A, B约定某时刻见面，两人均可能延迟0～1小时，先到者会等待15分钟
样本空间 Ω = [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] \Omega=[0,1]\times[0, 1] Ω=[0,1]×[0,1]可表示为一个正方形
概率P(S)为S的面积 ( S ⊆ Ω ) (S\subseteq \Omega) (S⊆Ω)

1.3 条件概率

条件概率-定义： P ( A ∣ B ) = P ( A ∪ B ) P ( B ) P(A|B)=\frac {P(A\cup B)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(A∪B)
含义：给定试验、样本空间，已知B发生，事件A发生的概率

条件概率也是概率律，满足概率的三公理与性质

对条件概率的理解：
P(A|B) ,其中B固定，A为 Ω \Omega Ω中任一事件

该条件概率为样本空间 Ω \Omega Ω上的新概率律
也可看作B上的概率律，B为全空间

乘法法则

例1.9 雷达探测器

例1.10
从52张牌中连续无放回的抽取3张牌，求3张牌中无红桃的概率

1.4 全概率定理和贝叶斯准则

全概率定理

A 1 , A 2 , . . . , A n A_1, A_2, ..., A_n A1,A2,...,An是样本空间的一个分割，且 P ( A i ) > 0 P(A_i)>0 P(Ai)>0,对任意事件B：
P ( B ) = P ( A 1 ∩ B ) + . . . + P ( A n ∩ B ) = P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) + . . . + P ( A n ) P ( B ∣ A n ) P(B)=P(A_1\cap B)+...+P(A_n\cap B)=P(A_1)P(B|A_1)+...+P(A_n)P(B|A_n) P(B)=P(A1∩B)+...+P(An∩B)=P(A1)P(B∣A1)+...+P(An)P(B∣An)

例1.13
P(胜) = P(一类对手)P(胜|一类)+P(二类)P(胜|二类)+P(三类)P(胜|三类)

例1.15 爱丽丝上课
U i , B i U_i, B_i Ui,Bi表示经过i周跟上或跟不上

贝叶斯准则

P ( A i ∣ B ) ⋅ P ( B ) = P ( B ∣ A i ) ⋅ P ( A i ) P(A_i|B)\cdot P(B)=P(B|A_i)\cdot P(A_i) P(Ai∣B)⋅P(B)=P(B∣Ai)⋅P(Ai)
其中 P ( B ∣ A i ) P(B|A_i) P(B∣Ai)后验概率， P ( A i ) P(A_i) P(Ai)先验概率

例1.18 假阳性之迷
已知某疾病检出率为95%，则求检测结果为阳性时，该人患病的概率

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