归纳法证明Nicomachus

发现一道有趣的数学题，下面是证明过程:

已知:

1^3=1,
2^3=3+5,
3^3=7+9+11,
4^3=13+15+17+19
```
 ...
```

求证：1^3+2 ^3+…+n ^3=(1+2+…+n) ^2

1.将已知条件两边相加：

1^3=1,
2^3=3+5,
3^3=7+9+11,
4^3=13+15+17+19
…

得到：

1^3+2 ^3+…+n ^3=1+3+5+…+(2*(1+2+3+…+n)-1)

2.现在只需证明:

1+3+5+…+(2*(1+2+3+…+n)-1)=(1+2+…+n) ^2
设 x=1+2+…+n
则有:1+3+5+…+(2*x-1)=x^2
根据奇数求和定理可得：
1+3+5+…+(2x-1)=(1+(2x-1))*x/2
=x^2

完美！

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