概率论考研笔记（一）

随机事件：

概率论考研笔记（一）：随机事件
- 随机事件相关概念和性质：
- 常用随机事件间的运算律：
- 常用随机事件间的关系命题：
- 概率相关概念：
- 常用概率公式：
- 古典概型/等可能概型：
- 几何概型：
- 抽签原理：

概率论考研笔记（一）：随机事件

随机事件相关概念和性质：

概念	释义	性质
随机现象	非确定性的现象	含多种可能出现的结果
随机试验E	对随机现象的一次观测	①相同条件下可重复进行 ②所有可能结果事先已知 ③出现且仅出现一种结果 ④无法预测出现哪个结果
n重伯努利试验	若随机试验E只有两个可能结果且每次试验的结果相互独立	独立重复的试验
基本事件/样本点e	随机试验E的每种可能结果	在随机试验E下不可分割
样本空间Ω\OmegaΩ	随机试验E的所有可能结果的集合	涵盖所有可能结果，且均已知
随机事件	样本空间Ω\OmegaΩ的某个子集	含一个或多个基本事件，简称事件
必然事件	每次试验必然发生的事件	等于样本空间Ω\OmegaΩ
不可能事件	任何一次试验都不可能发生的事件	等于∅\empty∅
互斥事件A,B	不可能同时发生的两个事件的互称	A⋂B=∅A \bigcap B = \emptyA⋂B=∅
对立事件A‾\overline AA	事件A不发生的事件	A⋂A‾=∅A\bigcap \overline A = \emptyA⋂A=∅ A⋃A‾=ΩA \bigcup \overline A = \OmegaA⋃A=Ω
独立事件A,B	事件A,B任意一个的发生对另外一个的发生没有影响	充要条件：P(AB)=P(A)P(B)P(AB) = P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)
完备事件组	若事件组A1,A2,..AnA_1,A_2,..A_nA1,A2,..An是样本空间Ω\OmegaΩ的一个划分，即事件组中任意两事件两两互斥，而其和为必然事件，则称A1～AnA_1～A_nA1～An为完备事件组	每次试验A1～AnA_1～A_nA1～An必发生且仅发生其中一个

常用随机事件间的运算律：

运算律名	运算律式
分配律	AB+C=(A+C)(B+C)AB+C=(A+C)(B+C)AB+C=(A+C)(B+C) A(B+C)=AB+ACA(B+C) = AB+ACA(B+C)=AB+AC
摩根律	A+B‾=A‾B‾\overline{A+B} = \overline{A} \space \overline{B}A+B=A B AB‾=A‾+B‾\overline{AB} = \overline{A}+\overline{B}AB=A+B
补元律	AA‾=∅,A+A‾=SA\overline{A}=\empty,\space A+\overline{A} = SAA=∅, A+A=S
吸收律	若A⊂B,A\subset B,A⊂B,则A+B=B,AB=AA+B=B,AB=AA+B=B,AB=A
分解律	A=AB+AB‾A = AB + A\overline{B}A=AB+AB 特殊地，当B⊂AB\subset AB⊂A时，有A=B+AB‾A=B+A\overline{B}A=B+AB
蕴含律	若AB=∅,AB=\empty,AB=∅,则A⊂B‾,B⊂A‾A\subset \overline{B},B\subset\overline{A}A⊂B,B⊂A
积差律	A−B=AB‾A-B=A\overline{B}A−B=AB

常用随机事件间的关系命题：
- 任意两个事件A和B，若AB=A‾B‾AB = \overline{A} \space \overline{B}AB=A B，则A和B互为对立事件
- 若两个事件A和B互为对立事件，则其对立事件A‾\overline{A}A和B‾\overline{B}B也是对立事件（但对多个对立事件一般不成立）
- 若两个事件A和B互斥，其对立事件A‾\overline{A}A和B‾\overline{B}B不一定互斥，当且仅当A+B=SA+B=SA+B=S，即A和B对立时，其对立事件互斥/对立
- 若两个事件A和B互斥，且A=BA=BA=B，则A和B都是不可能事件
- 若事件A、B的概率均大于零，则若A和B独立，那么A和B一定不互斥；反之，A和B互斥，则A和B一定不独立
- 若事件A、B既独立又互斥，则A，B中至少有一个的概率为零
- 若事件(A,B)(A,B)(A,B)独立，则事件(A,B‾)(A,\overline{B})(A,B)、(B,A‾)(B,\overline{A})(B,A)、(A‾,B‾)(\overline{A},\overline{B})(A,B)均独立
- 三个事件相互独立真包含了该三个事件两两独立，而n个事件相互独立必须满足对其中的任一事件，均对其他的任意1个，2个，…，n-1个事件均独立，共有Cn2+Cn3+...+Cnn=2n−n−1C_n^2+C_n^3+...+C_n^{n} =2^n-n-1Cn2+Cn3+...+Cnn=2n−n−1个约束条件

概率相关概念：

概念	释义	性质
频率fn(A)f_n(A)fn(A)	事件A在n次重复试验中共出现了nAn_AnA次，则记：fn(A)=nAnf_n(A) = \frac{n_A}{n}fn(A)=nnA	①在一定程度上反映了事件A的可能性的大小 ② 0≤fn(A)≤10 \leq f_n(A) \leq 10≤fn(A)≤1
概率P(A)P(A)P(A)	事件A对应的一个实数P(A)P(A)P(A)，若集合函数P()满足： ① 非负性：P(A)≥0P(A) \geq 0P(A)≥0； ②规范性： P(Ω)=1P(\Omega) = 1P(Ω)=1； ③ 可列可加性*：若A1,A2,..,An,..A_1,A_2,..,A_n,..A1,A2,..,An,..两两互斥，且有P(⋃Ai)=ΣP(Ai)P(\bigcup A_i) = \Sigma P(A_i)P(⋃Ai)=ΣP(Ai)	④ P(∅\empty∅) = 0 ⑤ P(A−B)=P(A)−P(AB)P(A-B) = P(A)-P(AB)P(A−B)=P(A)−P(AB) ⑥ P(A‾)=1−P(A)P(\overline A) = 1 - P(A)P(A)=1−P(A)
条件概率P(A∥B)P(A\\|B)P(A∥B)	事件B发生的条件下，A发生的概率	①P(A∥B)=P(AB)P(B)P(A \\| B) = \frac{P(AB)}{P(B)}P(A∥B)=P(B)P(AB) ②非负性 ③规范性 ④可列可加性

常用概率公式：

名称	表达式
加法公式	P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB)P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB) 特殊地，当A、B互斥时，有P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)
乘法公式	P(AB)=P(A)P(B∥A)⇒P(AB) = P(A)P(B\\|A) \RightarrowP(AB)=P(A)P(B∥A)⇒ P(ΠAi\Pi A_iΠAi) = P(A1A_1A1)P(A2∥A1A_2\\| A_1A2∥A1)P(A3∥A1A2A_3\\| A_1 A_2A3∥A1A2)…P(An∥A1A2...An−1A_n\\|A_1 A_2...A_{n-1}An∥A1A2...An−1)
全概率公式	若A1～AnA_1～A_nA1～An为完备事件组，则：P(B)=ΣP(Ai)P(B∥Ai)P(B) =\Sigma P(A_i)P(B \\| A_i)P(B)=ΣP(Ai)P(B∥Ai)
贝叶斯公式	若A1～AnA_1～A_nA1～An为完备事件组，则：P(Ak∥B)=P(Ak)P(B∥Ak)ΣP(Ai)P(B∥Ai)P(A_k \\| B) = \frac{P(A_k)P(B \\| A_k)}{\Sigma P(A_i)P(B \\| A_i)}P(Ak∥B)=ΣP(Ai)P(B∥Ai)P(Ak)P(B∥Ak)
全集分解	P(A)=P(AB)+P(AB‾)P(A) = P(AB)+P(A\overline{B})P(A)=P(AB)+P(AB)
积差公式	P(A−B)=P(AB‾)=P(A)−P(AB)P(A-B) = P(A\overline{B}) = P(A)-P(AB)P(A−B)=P(AB)=P(A)−P(AB) 特殊地，当B⊂AB\subset AB⊂A时，有P(A−B)=P(A)−P(B)P(A-B) = P(A)-P(B)P(A−B)=P(A)−P(B)
积和公式	P(A+B)=P(A−B)+P(B)=P(B)+P(AB‾)=P(A)+P(BA‾)P(A+B) = P(A-B)+P(B) = P(B)+P(A\overline{B}) = P(A)+P(B\overline{A})P(A+B)=P(A−B)+P(B)=P(B)+P(AB)=P(A)+P(BA)

古典概型/等可能概型：

① 若有一类随机试验，具有以下特点：
（1）样本空间Ω\OmegaΩ是有限集合（有限性）；
（2）样本空间Ω\OmegaΩ中的每个基本事件e发生的可能性相同（等可能性）；
则称该随机试验为古典概型/等可能概型；

② 古典概型概率计算公式：P(A)=A包含的样本点数样本点总数P(A) = \frac{A包含的样本点数}{样本点总数}P(A)=样本点总数A包含的样本点数

③ 计算古典概型时的两点技巧：
- 求事件A={至少存在一个}的概率常化为求其对立事件的概率
- 事件{任取k件}和事件{无放回地逐次取k件}的概率相同，只是二者考虑问题的角度不同

几何概型：

若有一类随机试验，具有以下特点：
（1）样本空间Ω\OmegaΩ对应于一个度量有限的几何区域S（可度量）；
（2）所有基本事件e与S中的点一一对应（无限性）；
（3）任一随机事件A对应Ω\OmegaΩ中的某个子区域D，且P(A)只和D的度量成正比，与D的形状和在S中的位置无关；

则称该随机试验为几何概型；

几何概型概率计算公式：P(A)=A对应子区域D的度量样本空间对应S的度量P(A) = \frac{A对应子区域D的度量}{样本空间对应S的度量}P(A)=样本空间对应S的度量A对应子区域D的度量

抽签原理：

若n个签中有m个正签，则让n个人排队依次抽签，则第k个人抽到正签的概率均等于mn\cfrac{m}{n}nm，与抽签次序和抽签方式(放回还是不放回)均无关

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