中值定理、不等式与零点问题
中值定理、不等式与零点问题
知识点
费马定理
设f(x)在x=x_0的某邻域U(x_0)内有定义,f(x_0)是f(x)的一个极值.又设f'(x_0)存在
则有f'(x_0) = 0
罗尔定理
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,又设f(a) = f(b)
则存在\xi \in (a,b)使f'(\xi) = 0
拉格朗日中值定理
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导
则至少存在一点\xi \in (a,b)使f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a)
柯西中值定理
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导
g'(x) \ne 0
则至少存在一点\xi \in (a,b)使\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f(\xi)}{g(\xi)}
泰勒定理
设f(x)在[a,b]上有n阶连续导数,在(a,b)内有n+1阶导数,
x_0 \in [a,b], x\in [a,b]是任意两点,则至少存在一个\xi 介于x_0 和x之间
使得f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... +
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x),其中R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
R_n 称为Langrange型余项
Peano型余项为o((x-x_0)^n),条件改为(a,b)上n阶可导即可
Langrange | Peano |
---|---|
条件 | 存在n+1阶导数 |
余项 | Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1 R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} |
用途 | 用于区间[a,b]上 |
例题
例题1
设x>0,y>0,证明lnx - lny
例题2
设0
例题3
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a) = f(b) = 0,且f'(x)在(a,b)内严格单调递增
证明在(a,b)内f(x)
例题4
设f(x)在区间(a,b)内存在二阶导数,且f''(x)
x_1与x_2, 以及满足s + t = 1, 0sf(x_1) + tf(x_2)
例题5
设f(x)满足1.在[0,1]上连续,2.在(0,1)内可导,3.有点x_i \in (0,1) 及
常数p_i 满足 0
试证明至少存在一点\xi \in (0,1),使f'(\xi) = 0
例题6
f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,f(0) = 0,f(1) = 1 ,\int _0^1 f(x)dx = 2
证明:至少存在一点\xi \in (0,1),使f'(\xi) = 0
例题7
设f(x)在[a,b]上可导,且f'(a)f'(b)
试证明至少存在一点 \xi \in (a,b)使f'(\xi) = 0
例题8
设f(x)与g(x)在区间[a,b]上连续,并设 \phi(x) = g(x)\int_a^b f(x)dx - f(x)\int_a^b g(x)dx
试证明存在\xi \in (a,b) 使 \phi(\xi) = 0
例题9
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(1) = 2f(0) .
试证明至少存在一点\xi \in (0,1)使(1+\xi)f'(\xi) = f(\xi)
例题10
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0) = 0 ,f(1) = 1,常数a > 0.证明
(1)存在\xi \in (0,1) , 使f(\xi) = \frac{a}{a+b}
(2)存在\eta,\zeta \in (0,1), \eta \ne \ zeta,使\frac{a}{f'(\eta)} + \frac{b}{f'(\zeta)} = a + b
例题11
设常数a > 0,讨论a的值,确定曲线y = e^{ax}与曲线y = x^2 在第一象限中交点的个数
例题12
设f(x) = xe^{2x} - 2x - cosx,讨论它在区间(- \infty , + \infty)上零点的个数
例题13
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,并且不是一次式
证明至少存在一点\xi \in (a,b) 使 |f'(\xi)| > |\frac{f(b) - f(a)}{b - a}|
例题14
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内存在二阶导数,并设f(0) = f(1) = 0,\max_{[0,1]}f(x) = 2
证明存在\xi \in (0,1),使f''(\xi) \le -16
例题15
求 \lim_{x -> 0}\frac{tan(tanx) - sin(sinx)}{x - sinx}
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