LGV应用 codeforces348 + 牛客暑假多校训练营 Monotonic Matrix

Lindström–Gessel–Viennot lemma，即 LGV 引理，可以用来处理有向无环图（DAG）上不相交路径计数等问题。

具体证明可以参考维基百科
所以问题就转化为求A集合中的点到B集合中点的方案数，然后填入上边的行列式，可以利用高斯消元求解。
当然一个点到另一个点路线的方案数可以利用DP做时间复杂度O(nm)O(nm)O(nm)，也可以直接用组合数的方式求出来。

codeforces 348

题目描述

从 (0,0)(0, 0)(0,0) 点到 (n,m)(n, m)(n,m) 点两条不相交路线的方案数，障碍物不能通过。

思路

因为是从 (0,0)(0, 0)(0,0) 到 (n,m)(n, m)(n,m) 的路线，所以我们可以将题目转化为从 s1(1,2)s1 (1, 2)s1(1,2) 和 s2(2,1)s2 (2, 1)s2(2,1) 两个点到 e1(n−1,m)e1 (n - 1, m)e1(n−1,m) 和 e2(n,m−1)e2 (n, m - 1)e2(n,m−1) 两个点的路线总数，所以我们可以单独求出s1到e1、e2的方案数和s2到e1、e2的方案数，然后就可以带入LGV公式求出行列式的值就可以了。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 3010;
const int mod = 1e9 + 7;char g[N][N];
int dp[N][N];
int n, m;int main() {cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%s", g[i] + 1);if (g[1][2] != '#') dp[1][2] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {if (g[i][j] != '#') {dp[i][j] = ((dp[i][j] + dp[i - 1][j]) % mod + dp[i][j - 1]) % mod;}}}long long ans1 = dp[n - 1][m], ans2 = dp[n][m - 1]; //ans1 =  s1 -> e1    ans2 = s1 -> e2memset(dp, 0, sizeof(dp));if (g[2][1] != '#') dp[2][1] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {if (g[i][j] != '#') {dp[i][j] = ((dp[i][j] + dp[i - 1][j]) % mod + dp[i][j - 1]) % mod;}}}long long ans3 = dp[n - 1][m], ans4 = dp[n][m - 1];// ans3 = s2 -> e1  ans4 = s2 -> e2int res = ((ans1 * ans4) % mod - (ans2 * ans3) % mod + mod) % mod;// 因为这个是两行两列的行列式，所以直接交叉相乘然后相减就可以// 如果是多行多列的就需要利用高斯消元求解cout << res << endl;return 0;
}

Monotonic Matrix

题目描述

使用 0,1,20, 1, 20,1,2 这三个数将 n,m（1<=n,m<=1000)n, m（1 <= n, m <= 1000)n,m（1<=n,m<=1000) 矩阵填充满，需要满足从左上角到右下角非递减

思路

通过题意我们不难发现0, 1, 2这三个数是分为三个部分0一定位于左上角1位于中间的部分而2位于右下角，所以这样就可以划分出0, 1分界线和1, 2分界线，分界线就是从右上角到左下角的。
于是题目就可以转化为从右上角到左下角两条路线的方案数，但是我们这两条路线是可以重合的，而LGV是不相交的路径。所以我们可以把0，1分界线向左上平移或者是把1，2分界线向右下平移。

这样就可以转化成为求两条不相交路径的方案数，这里求路线的方案数可以直接使用组合数进行

∣(n+m,n)(n+m,n+1)(n+m,n−1)(n+m,n)∣\left| \begin{array}{cccc} (n + m, n) & (n + m, n + 1)\\ (n + m, n - 1) & (n + m, n) \end{array} \right| ∣∣∣∣(n+m,n)(n+m,n−1)(n+m,n+1)(n+m,n)∣∣∣∣

(n+m,n)(n + m, n)(n+m,n) 表示的 (s1−>e1)(s1 -> e1)(s1−>e1) 总步数是n + m步，然后选取n步向下走
(n+m,n+1)(n + m, n + 1)(n+m,n+1) 表示的 (s1−>e2)(s1 -> e2)(s1−>e2) 总步数是n + m步，然后选取n + 1步向下走

其余两个同理

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 2010;
const int mod = 1e9 + 7;int c[N][N];
int n, m;int main() {for (int i = 0; i < N; i++) {for (int j = 0; j <= i; j++) {if (!j) c[i][j] = 1;else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;}}while (cin >> n >> m) {int ans1 = c[n + m][n], ans2 = c[n + m][n + 1];// 起点总是右上角// ans1 表示从蓝色起点到蓝色终点// ans2 表示从蓝色起点到红色终点int ans3 = c[n + m][n - 1], ans4 = c[n + m][n];// ans3 表示红色起点到蓝色终点// ans4 表示红色起点到红色终点cout << (((long long)ans1 * ans4) % mod - ((long long)ans2 * ans3) % mod + mod) % mod << endl;}return 0;
}