Kth Smallest Element in a Sorted Matrix

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所有的问题都可以转化成找第k最小元素的问题

LeetCode 378

Given a n x n matrix where each of the rows and columns are sorted in ascending order, find the kth smallest element in the matrix. Note that it is the kth smallest element in the sorted order, not the kth distinct element.

1 暴力法(基于排序的方法)

将矩阵转成单维列表，进行排序，结果就是第k-1个元素

class Solution:def kthSmallest(self, matrix: List[List[int]], k: int) -> int:nums = [matrix[i][j] for i in range(len(matrix)) for j in range(len(matrix[0]))]nums = sorted(nums)return nums[k-1]

时间复杂度O(n^2 + n^2log(n^2)) = O(n^2 * log(n^2))

空间复杂度O(n^2)

2 基于优先队列的方法（部分排序）

不需要对整个数组进行排序，我们只需要找到第k个最小的元素。所以只需要建立一个大小为k的优先队列（或者用堆），结果就是堆中最大的那个值。

class Solution:def kthSmallest(self, matrix: List[List[int]], k: int) -> int:nums = []for i in range(len(matrix)):for j in range(len(matrix[0])):# 没有必要比较可以利用堆去pop掉最大的值达到比较的目的# if len(nums) == k:#     heapq.heappush(nums, - min(matrix[i][j], -heapq.heappop(nums)))# else:#     heapq.heappush(nums, - matrix[i][j])heapq.heappush(nums, - matrix[i][j])if len(nums) > k:heapq.heappop(nums)return -heapq.heappop(nums)

时间复杂度O(n^2 * log(k)) 循环 n^2次，每次循环中堆的push和pop时间复杂度都O(log(k)), 最坏的情况k = n^2退化成第一种方法

空间复杂度O(k)

3 基于优先队列的优化

以上两种方法都没有考虑矩阵本身的有序性，如果考虑矩阵本身的有序性则不需要对所有元素进行比较，因为有序性已经告诉了下一个最小值可能存在的位置。因为第一个最小值是在第一列第一行，所以可以把第一列的元素设置为初始值，每次移除一个最小值后补充该行的下一列元素即可。再去掉k-1个最小值后，第k个最小值就是pool中的最小值。

java版本

public int kthSmallest(int[][] matrix, int k) {PriorityQueue<int[]> pq = new PriorityQueue<>(new Comparator<int[]>() {public int compare(int[] a, int[] b) { // (a[0], a[1]) and (b[0], b[1]) are positions in the matrixreturn Integer.compare(matrix[a[0]][a[1]], matrix[b[0]][b[1]]);}});int n = matrix.length;for (int i = 0; i < n; i++) {pq.offer(new int[] {i, 0});  // initialize the pool with elements from the first column}while (--k > 0) {                // remove the smallest elements from the matrix (k-1) timesint[] p = pq.poll();if (++p[1] < n) {pq.offer(p);             // add the next element in the same row if it exists}}return matrix[pq.peek()[0]][pq.peek()[1]];
}

python版本

class Solution:def kthSmallest(self, matrix: List[List[int]], k: int) -> int:col = len(matrix[0])row = len(matrix)nums = []# initialize with first col since the smallest must be in first column# python的堆比较的是第一个元素，所以把matrix的值放在第一位，第二第三位用来保存位置信息（row，col）for i in range(len(matrix)):tmp = [matrix[i][0], i, 0]heapq.heappush(nums, tmp)# remove k - 1 smallest ele, so that the result is the smallest one among the heap# 终止条件是 k = 1while k > 1:mini = heapq.heappop(nums)if mini[2] < col - 1:i = mini[1]j = mini[2]tmp = [matrix[i][j + 1], i, j + 1]heapq.heappush(nums, tmp)k -= 1return heapq.heappop(nums)[0]

时间复杂度：O(max(col, k) * log(col)) 如果col大于k，时间复杂度由初始化的部分决定，否则由remove最小值的部分决定。

空间复杂度：O(row)

2,3两种方法的精髓就是用堆替代了比较的过程。将n变成了logn。

4 二分搜索法

某位大佬总结说二分搜索法是特殊的"trial and error" algorithm（试错法），简单的说就是随便找个可能的值（The candidate solution，The search space是The candidate solution的集合）试试，通过结果可以缩小搜索范围（The search space）。这种方法要求可以轻易的判断是否缩小范围（The verification algorithm）

The candidate solution: in this case, the cadidate solution is simply an integer.

The search space: in this case, the search space is given by [MIN, MAX], where MIN and MAX are the minimum and maximum elements in the matrix, respectively.

The traverse method: in this case, we can do a binary search since the search space is sorted naturally in ascending order (this also accounts for the name "BinarySearch-based solution").

The verification algorithm: in this case, the verification algorithm is implemented by comparing the count of elements in the matrix less than or equal to the candidate solution, denoted as cnt, with the rank k: if cnt < k, we throw away the left half of the search space; otherwise we discard the right half.

class Solution:def kthSmallest(self, matrix: List[List[int]], k: int) -> int:col = len(matrix[0])row = len(matrix)# search space [l, r]l = matrix[0][0]r = matrix[row - 1][col - 1]while l < r:m = l + (r - l)//2# count the number which is less than midcnt = 0for i in range(row):j = col -1while j >= 0 and matrix[i][j] > m:j -= 1cnt += (j + 1)# binary search discard halfif cnt < k:# mid 是靠左的，可以取到l，所以l = mid + 1l = m + 1else:r = mreturn l

时间复杂度：O(row *col * log(row)) log(row)层循环，每层循环count number是linear的col * row。

空间复杂度：O(1)

5 Zigzag Search

同样是一种"trial and error" algorithm，与二分不同的是，search space不是[Min, Max]的连续取值，而是实际存在于输入矩阵的中值，所以这里不能用二分，只能沿着特定的方向一个一个遍历（从右上角或者左下角开始）。

The candidate solution: 输入矩阵中的值

The search space: 输入矩阵本身，不再是[Min, Max]

The traverse method: 由The verification algorithm决定要移动的方向（这里从右上角开始）

The verification algorithm: 通过分别比较 cnt_lt，cnt_le和k大小关系: 如果 cnt_le < k, 移动到下一行; else if cnt_lt >= k, 移动到前一列，否则等于k返回结果. 这里cnt_lt代表小于可能解的元素个数, 而cnt_le代表小于等于可能解的元素个数 (考虑可能存在重复值).

public int kthSmallest(int[][] matrix, int k) {int n = matrix.length;int row = 0;          // we start from the upper-right cornerint col = n - 1;      for (int cnt_le = 0, cnt_lt = 0; true; cnt_le = 0, cnt_lt = 0) {for (int i = 0, j = n - 1, p = n - 1; i < n; i++) {while (j >= 0 && matrix[i][j] > matrix[row][col]) j--;    // pointer j for counting cnt_lecnt_le += (j + 1);while (p >= 0 && matrix[i][p] >= matrix[row][col]) p--;   // pointer p for counting cnt_ltcnt_lt += (p + 1);}if (cnt_le < k) {         // candidate solution too small so increase itrow++; } else if (cnt_lt >= k) { // candidate solution too large so decrease itcol--;} else {                  // candidate solution equal to the kth smallest element so returnreturn matrix[row][col];}}
}

时间复杂度：O(row * row * col ) 最多循环 2row 每层循环count number的时间复杂度是row * col

空间复杂度：O(1)

6 Biselect

解决这类问题最快的算法，时间复杂度和空间复杂度都是线性的。了解一下即可。

https://leetcode.com/problems/kth-smallest-element-in-a-sorted-matrix/discuss/85201/c-on-time-on-space-solution-with-detail-intuitive-explanation

https://leetcode.com/problems/k-th-smallest-prime-fraction/discuss/115819/Summary-of-solutions-for-problems-%22reducible%22-to-LeetCode-378

有时间在研究。

7 如何把其他问题转化为这一类问题？

关键就是要构造一个row和col都是上升的矩阵:

加: matrix[i][j] = a[i'] + b[j']
减: matrix[i][j] = a[i'] - b[j']
乘: matrix[i][j] = a[i'] * b[j']
除: matrix[i][j] = a[i'] / b[j']

这里的a,b都是输入数组，而i' -> i和 j' -> j的映射关系不一定是相等的，只要可以满足双射就可以了。

比如Find K-th Smallest Pair Distance https://blog.csdn.net/weixin_38087754/article/details/95218322这里的a和b都是同一个nums，而这里距离矩阵就是通过减法: matrix[i][j] = nums[i] - nums[j]构建的再用二分的方法去解决，在这道题中，i必须要大于j所以这里的矩阵只是半角矩阵。

Ref: https://leetcode.com/problems/k-th-smallest-prime-fraction/discuss/115819/Summary-of-solutions-for-problems-%22reducible%22-to-LeetCode-378

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