Description

求

∑i=1n∑j=1ngcd(i,j)k且n≤1010，k≤5 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n gcd ( i , j ) k 且 n ≤ 10 10 ， k ≤ 5

\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\gcd(i,j)^k 且n\leq 10^{10}，k\leq5

Solution

这是一篇口胡题解，如果有什么错还请拍打喂食
很容易得到一个不那么显然的异于题解的柿子

ans=∑T=1n⌊nT⌋2∑d|Tμ(Td)⋅dk a n s = ∑ T = 1 n ⌊ n T ⌋ 2 ∑ d | T μ ( T d ) ⋅ d k

ans=\sum_{T=1}^n{\lfloor\frac{n}{T}\rfloor}^2\sum_{d|T}\mu(\frac{T}{d})\cdot d^k
注意到可以分块，然后后面是个狄利克雷卷积可以考虑怎么筛他

我们令 f(n)=nk f ( n ) = n k f(n)=n^k， g(n)=n g ( n ) = n g(n)=n，要求的函数为 h(n)=∑d|nμ(nd)⋅dk h ( n ) = ∑ d | n μ ( n d ) ⋅ d k h(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})\cdot d^k那么有 h=f∗μ h = f ∗ μ h=f*\mu

于是有焉 h∗g=f∗(μ∗g)=f h ∗ g = f ∗ ( μ ∗ g ) = f h*g=f*(\mu*g)=f，f的前缀和可以轻易求，g也非常显然，那么我们就能杜教筛了

写成式子就是

∑d|nf(d)⋅nd=nk ∑ d | n f ( d ) ⋅ n d = n k

\sum_{d|n}f(d)\cdot \frac{n}{d}=n^k

∑i=1n∑d|if(d)⋅id=∑d=1nd∑i=1⌊nd⌋f(i)=∑i=1nik ∑ i = 1 n ∑ d | i f ( d ) ⋅ i d = ∑ d = 1 n d ∑ i = 1 ⌊ n d ⌋ f ( i ) = ∑ i = 1 n i k

\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f(d)\cdot \frac{i}{d}=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f(i)=\sum_{i=1}^n i^k
这是非常经典的形式

然后就是那个自然数幂和的问题。由于k不大可以用拉格朗日大炮打蚊子（我只会拉格朗日

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这是一篇口胡题解辣~

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jzoj5224 [GDOI2018模拟7.12]C 杜教筛+自然数幂和

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