Luogu P3224 [HNOI2012]永无乡

题目大意

给出若干个点集，每个点带点权。你需要完成 qqq 个操作。

合并点 uuu，vvv 所在的点集。
输出点 uuu 所在的点集中点权第 kkk 大的点的编号。

数据范围　1⩽n⩽100000,1⩽q⩽3000001\leqslant n\leqslant100000,1\leqslant q\leqslant 3000001⩽n⩽100000,1⩽q⩽300000

题解

求第k大，考虑权值线段树/Splay。
考虑到需要合并，可以考虑启发式合并。
可以发现，每个点最多被合并 log⁡n\log nlogn 次，每次插入到另一颗权值线段树/Splay的时间为 Θ(log⁡n)\Theta(\log n)Θ(logn)。故总时间复杂度是有保证的，为 Θ(n log2n)\Theta(n\,\text{log}^2n)Θ(nlog2n)。

代码

SplaySplaySplay，Time:977msTime:977msTime:977ms
这种方法没什么需要注意的，直接打就好。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{//节点int size,data,n,id;node *fa,*ch[2];inline node(int ids,int d=0,node *f=NULL):data(d),size(1),n(1),fa(f),id(ids){ch[0]=ch[1]=NULL;}inline void up(){size=n;if(ch[0]) size+=ch[0]->size;if(ch[1]) size+=ch[1]->size;}
};
#define which(p) (p->fa->ch[1]==p)
struct Splay{//Splay主体node *root;inline Splay():root(NULL){}inline void newnode(node *&p,int id,int data,node *fa){p=new node(id,data,fa);*p=node(id,data,fa);}inline node *&down(node *&p,int x){if(x==p->data) return p;return p->ch[x>p->data];}inline void rotate(node *p){int t=which(p);node *f=p->fa;if((f->ch[t]=p->ch[t^1]))p->ch[t^1]->fa=f;if((p->fa=f->fa))p->fa->ch[which(f)]=p;f->fa=p;p->ch[t^1]=f;f->up();p->up();if(p->fa==NULL)root=p;}inline void splay(node *p,node *Fa){for(;p->fa!=Fa;rotate(p))if(p->fa->fa!=Fa)rotate(which(p)==which(p->fa)?p->fa:p);}inline void insert(node *p,int id,int val){if(root==NULL){newnode(root,id,val,NULL);return ;} node *fa=p->fa;while(p!=NULL){node *t=down(p,val);if(t==p)break;fa=p;p=t;} if(p==NULL){newnode(p,id,val,fa);down(fa,val)=p;}else++p->n;splay(p,NULL);} inline void insert(int id,int x){insert(root,id,x);}inline node *kth(node *p,int k){while(p){int d=p->ch[0]?p->ch[0]->size:0;if(k>=d+1&&k<=d+p->n){splay(p,NULL);return p;}if(k<d+1) p=p->ch[0];else k-=d+p->n,p=p->ch[1];}return NULL;} inline node *kth(int k){return kth(root,k);}friend void travel_insert_del(node *t,Splay *y){y->insert(t->id,t->data);if(t->ch[0]!=NULL) travel_insert_del(t->ch[0],y);if(t->ch[1]!=NULL) travel_insert_del(t->ch[1],y);delete t;//保证空间复杂度为 $\Theta(n)$}void operator+=(Splay &_x){//启发式合并Splay *x=this,*y=&_x;travel_insert_del(y->root,x);y->root=NULL;}
}splay[100010];
int fa[100010];//并查集维护根
int findfa(int x){if(fa[x]==x) return x;return fa[x]=findfa(fa[x]);
}
void link(int u,int v){int fx=findfa(u),fy=findfa(v);if(fx==fy) return;if(splay[fx].root->size<splay[fy].root->size){fa[fx]=fy;splay[fy]+=splay[fx];}else{fa[fy]=fx;splay[fx]+=splay[fy];}
}
int n,m;
char str[110];
int main(void){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1,x;i<=n;i++){fa[i]=i;scanf("%d",&x);splay[i].insert(i,x);}for(int i=1,u,v;i<=m;i++){scanf("%d%d",&u,&v);link(u,v);}scanf("%d",&m);for(int i=1,u,v;i<=m;i++){scanf("%s%d%d",str,&u,&v);if(str[0]=='Q'){node *t=splay[findfa(u)].kth(v);if(t) printf("%d\n",t->id);else printf("-1\n");}else link(u,v);}return 0;
}

权值线段数，Time:1547msTime:1547msTime:1547ms
考虑到要保证时间和空间复杂度，这里最好(必须)动态开点。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct tree{int l,r,d,cur;tree *left,*right;tree(int tl=0,int tr=0):l(tl),r(tr),left(NULL),right(NULL),d(0),cur(-1){} void set_up(int tl,int tr){*this=tree(tl,tr);}void insert(int x,int tcur){//加入if(l==r) return (void)(d=1,cur=tcur);int mid=(l+r)>>1;if(x<=mid){if(!left) left=new tree(l,mid);left->insert(x,tcur);}else{if(!right) right=new tree(mid+1,r);right->insert(x,tcur);}d=0;if(left) d+=left->d;if(right) d+=right->d;}int kth(int k){//排名if(k>d||k<1) return -1;if(l==r) return cur;if(left&&left->d>=k) return left->kth(k);return right->kth(k-(left?left->d:0));} friend void merge(tree*,tree*);
}t[100010];
void merge(tree *a,tree *b){//合并a->d+=b->d,b->d=b->cur=0;a->cur=max(a->cur,b->cur);if(a->left&&b->left){merge(a->left,b->left);delete b->left;b->left=NULL;}else if(b->left)a->left=b->left;//直接送过去就好if(a->right&&b->right){merge(a->right,b->right);delete b->right;b->right=NULL;}else if(b->right)a->right=b->right;//直接送过去就好
}
int fa[100010];
int findfa(int x){if(fa[x]==x) return x;return fa[x]=findfa(fa[x]);
}
void link(int u,int v){//连接int fx=findfa(u),fy=findfa(v);if(fx!=fy){if(t[fx].d>t[fy].d){fa[fy]=fx;merge(t+fx,t+fy);}else{fa[fx]=fy;merge(t+fy,t+fx);}}
}
int n,m;
char str[110];
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1,x;i<=n;i++){scanf("%d",&x);t[i].set_up(1,n);t[fa[i]=i].insert(x,i);}for(int i=1,u,v;i<=m;i++){scanf("%d%d",&u,&v);link(u,v);}scanf("%d",&m);for(int i=1,u,v;i<=m;i++){scanf("%s%d%d",str,&u,&v);if(str[0]=='Q'){printf("%d\n",t[findfa(u)].kth(v));}else link(u,v);}return 0;
}

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