算法导论 3-4 证明与反驳

2024-06-24 05:18:11

（渐进记号的性质）假设f(n)和g(n)为渐近正函数。证明或反驳下面的每个猜测。

a. f(n)=O(g(n))蕴含g(n)=O(f(n))。

b. f(n)+g(n)=θ(min(f(n), g(n))。

c. f(n)=O(g(n))蕴含lg(f(n))=O(lg(g(n)))，其中对所有足够大的n，有 ${\color{Red} lg(g(n))\geq 1}$ 且 ${\color{Red} f(n)\geq 1}$ 。

d. f(n)=O(g(n))蕴含 ${\color{Red} 2^{f(n)}=O(2^{g(n)})}$ 。

e. f(n)= ${\color{Red} O((f(n))^{2})}$ 。

f. f(n)=O(g(n))蕴含g(n)=Ω(f(n))。

g. f(n)= ${\color{Red} \Theta (f(n/2))}$ 。

h. f(n)+o(f(n))= ${\color{Red} \Theta (f(n))}$ 。

解答：

a. f(n)=O(g(n))蕴含g(n)=O(f(n))。错误。

举例 $n = O(n^{2})$ ， $n^{2}\neq O(n)$ 。

b. f(n)+g(n)=θ(min(f(n), g(n))。错误。

举例 $f(n)=n$ ， $g(n)=n^{2}$ ， $n+n^{2}\neq \Theta (n)$

c. f(n)=O(g(n))蕴含lg(f(n))=O(lg(g(n)))，其中对所有足够大的n，有 $lg(g(n))\geq 1$ 且 $f(n)\geq 1$ 。正确。

根据O定义：

O(g(n)) = { f(n): 存在正常量c和 $n_{0}$ ，使得对所有 $n\geq n_{0}$ ，有 $0\leq f(n)\leq cg(n)$ }

由不等式 $f(n)\leq cg(n)$ 可得

$lg(f(n))\leq lg(cg(n))=lg(c)+lg(g(n))=O(lg(g(n)))$ 。

d. f(n)=O(g(n))蕴含 $2^{f(n)}=O(2^{g(n)})$ 。正确。

根据O定义：

O(g(n)) = { f(n): 存在正常量c和 $n_{0}$ ，使得对所有 $n\geq n_{0}$ ，有 $0\leq f(n)\leq cg(n)$ }

由不等式 $f(n)\leq cg(n)$ 可得

$2^{f(n)}\leq 2^{cg(n)}=(2^{g(n)})^{c}$

e. f(n)= $O((f(n))^{2})$ 。错误。

举反例，取 $f(n)=\frac{1}{n}$ ，则 $(f(n))^{2}=(\frac{1}{n})^{2}$ 。已知n>0时， $\frac{1}{n}>(\frac{1}{n})^{2}$ 。所以命题e不成立。

f. f(n)=O(g(n))蕴含g(n)=Ω(f(n))。

从O的定义来分析该问题，O定义如下：

O(g(n)) = { f(n): 存在正常量c和 $n_{0}$ ，使得对所有 $n\geq n_{0}$ ，有 $0\leq f(n)\leq cg(n)$ }

Ω(g(n)) = { f(n): 存在正常量c和 $n_{0}$ ，使得对所有 $n\geq n_{0}$ ，有 $0\leq cg(n)\leqslant f(n)$ }

g. f(n)= $\Theta (f(n/2))$ 。错误。

举反例。取 $f(n)=2^{n}$ ，则 $f(n/2)=2^{n/2}=\sqrt{2^{n}}=\sqrt{f(n)}$ ，由于 $f(n)\neq \Theta (\sqrt{f(n)})$ ，所以命题不成立。

h. f(n)+o(f(n))= $\Theta (f(n))$ 。正确。

根据o的定义，我们可以得到

存在正常量c和 $n_{0}$ ，使得对于所有 $n\geq n_{0}$ ，有 $f(n)+o(f(n))\leq f(n)+cf(n)=(1+c)f(n)$ ，

另外，由于 $o(f(n))\geq 0$ ，可得 $f(n)+o(f(n))\geq 0$ 。

因此我们可以得到

$f(n)\leq f(n)+o(f(n))\leq (1+c)f(n)$ ，因此符合θ函数的定义。故命题成立。

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