第五次近世代数笔记—

自然同态ϕ\phiϕ：群到商群的映射

（商群的单位元就是等价关系对应的陪集？？存疑教材P58

群同态的核都是正规子群

群同态ϕ\phiϕ满足：ϕ(x−1)=ϕ(x)−1\phi(x^{-1})=\phi(x)^{-1}ϕ(x−1)=ϕ(x)−1

单同态与满同态

σ:G→G′，群同态\sigma:G\to G'，群同态σ:G→G′，群同态

满同态σ\sigmaσ，若σG=G′\sigma G=G'σG=G′
单同态σ\sigmaσ，若GGG与σG\sigma GσG同构，即GGG与G′G'G′的一个子群同构

满同态，（由于教材P58问题没有解决，解决了补上）
单同态,当且仅当ker(σ)={eG}ker(\sigma)=\{e_G\}ker(σ)={eG}

σ:G→G′，环同态\sigma:G\to G'，环同态σ:G→G′，环同态

如果σ\sigmaσ是满同态，N=ker(σ)N=ker(\sigma)N=ker(σ),则

σ−1(σ(H))=H+N\sigma^{-1}(\sigma(H))=H+Nσ−1(σ(H))=H+N
σ(σ−1(H′))=H′\sigma(\sigma^{-1}(H'))=H'σ(σ−1(H′))=H′
特别地，若N⊆HN\subseteq HN⊆H ，则
σ−1(σ(H))=H\sigma^{-1}(\sigma(H))=Hσ−1(σ(H))=H（很自然）

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