哈密顿算子及拉普拉斯算子的基本性质及证明

重要公式
▽⋅(A⃗×B⃗)=B⃗⋅▽×A⃗−A⃗⋅▽×B⃗\triangledown \cdot(\vec A \times \vec B)= \vec B \cdot \triangledown \times\vec A-\vec A\cdot\triangledown\times\vec B ▽⋅(A×B)=B⋅▽×A−A⋅▽×B
证明
▽=∂∂xe⃗x+∂∂ye⃗y+∂∂ze⃗z\triangledown=\frac{\partial}{\partial x}\vec e_x+\frac{\partial }{\partial y}\vec e_y+\frac{\partial }{\partial z}\vec e_z ▽=∂x∂ex+∂y∂ey+∂z∂ez
A⃗×B⃗=∣e⃗xe⃗ye⃗zAxAyAzBxByBz∣=(AyBz−AzBy)e⃗x+(AzBx−AxBz)e⃗y+(AxBy−AyBx)e⃗z\vec A \times \vec B=\left | \begin{matrix} \vec e_x &\vec e_y &\vec e_z\\ A_x & A_y & A_z\\ B_x & B_y & B_z \end{matrix} \right |\\ =(A_yB_z-A_zB_y)\vec e_x+(A_zB_x-A_xB_z)\vec e_y+(A_xB_y-A_yB_x)\vec e_z A×B=∣∣∣∣∣∣exAxBxeyAyByezAzBz∣∣∣∣∣∣=(AyBz−AzBy)ex+(AzBx−AxBz)ey+(AxBy−AyBx)ez
▽⋅(A⃗×B⃗)=(∂∂xe⃗x+∂∂ye⃗y+∂∂ze⃗z)⋅((AyBz−AzBy)e⃗x+(AzBx−AxBz)e⃗y+(AxBy−AyBx)e⃗z)=∂(AyBz−AzBy)∂x+∂(AzBx−AxBz)∂y+∂(AxBy−AyBx)∂z=∣∂∂x∂∂y∂∂zAxAyAzBxByBz∣\triangledown \cdot(\vec A \times \vec B)=(\frac{\partial}{\partial x}\vec e_x+\frac{\partial }{\partial y}\vec e_y+\frac{\partial }{\partial z}\vec e_z) \cdot\bigg((A_yB_z-A_zB_y)\vec e_x+(A_zB_x-A_xB_z)\vec e_y+(A_xB_y-A_yB_x)\vec e_z\bigg)\\ =\frac{\partial{(A_yB_z-A_zB_y)}}{\partial x}+\frac{\partial{(A_zB_x-A_xB_z)}}{\partial y}+\frac{\partial{(A_xB_y-A_yB_x)}}{\partial z}\\ =\left | \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\ A_x & A_y & A_z\\ B_x & B_y & B_z \end{matrix} \right |\\ ▽⋅(A×B)=(∂x∂ex+∂y∂ey+∂z∂ez)⋅((AyBz−AzBy)ex+(AzBx−AxBz)ey+(AxBy−AyBx)ez)=∂x∂(AyBz−AzBy)+∂y∂(AzBx−AxBz)+∂z∂(AxBy−AyBx)=∣∣∣∣∣∣∂x∂AxBx∂y∂AyBy∂z∂AzBz∣∣∣∣∣∣

B⃗⋅▽×A⃗−A⃗⋅▽×B⃗=B⃗⋅∣e⃗xe⃗ye⃗z∂∂x∂∂y∂∂zAxAyAz∣−A⃗⋅∣e⃗xe⃗ye⃗z∂∂x∂∂y∂∂zBxByBz∣=(Bxe⃗x+Bye⃗y+Bze⃗z)⋅((∂Az∂y−∂Ay∂z)e⃗x+(∂Ax∂z−∂Az∂x)e⃗y+(∂Ay∂x−∂Ax∂y)e⃗z)−(Axe⃗x+Aye⃗y+Aze⃗z)⋅((∂Bz∂y−∂By∂z)e⃗x+(∂Bx∂z−∂Bz∂x)e⃗y+(∂By∂x−∂Bx∂y)e⃗z)=Bx(∂Az∂y−∂Ay∂z)+By(∂Ax∂z−∂Az∂x)+Bz(∂Ay∂x−∂Ax∂y)−(Ax(∂Bz∂y−∂By∂z)+Ay(∂Bx∂z−∂Bz∂x)+Az(∂By∂x−∂Bx∂y))∵Bz∂Ay∂x−By∂Az∂x+Ay∂Bz∂x−Az∂By∂x=(Bz∂Ay∂x+Ay∂Bz∂x)−(By∂Az∂x+Az∂By∂x)=∂(AyBz)∂x−∂(AzBy)∂x=∂(AyBz−AzBy)∂x\vec B \cdot \triangledown \times\vec A-\vec A\cdot\triangledown\times\vec B=\vec B \cdot \left | \begin{matrix} \vec e_x &\vec e_y &\vec e_z\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\ A_x & A_y & A_z \end{matrix} \right | - \vec A \cdot \left | \begin{matrix} \vec e_x &\vec e_y &\vec e_z\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\ B_x & B_y & B_z \end{matrix}\right | \\ = (B_x\vec e_x+B_y\vec e_y+B_z\vec e_z)\cdot\bigg( (\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})\vec e_x+(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})\vec e_y+(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})\vec e_z \bigg)\\ -(A_x\vec e_x+A_y\vec e_y+A_z\vec e_z)\cdot\bigg( (\frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial z})\vec e_x+(\frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x})\vec e_y+(\frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y})\vec e_z \bigg)\\ =B_x( \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})+ B_y(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})+ B_z(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})\\ -\bigg(A_x( \frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial z})+ A_y(\frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x})+ A_z(\frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y})\bigg)\\ \because B_z\frac{\partial A_y}{\partial x}-B_y\frac{\partial A_z}{\partial x}+ A_y\frac{\partial B_z}{\partial x}- A_z\frac{\partial B_y}{\partial x}= \bigg(B_z\frac{\partial A_y}{\partial x}+ A_y\frac{\partial B_z}{\partial x}\bigg)-\bigg(B_y\frac{\partial A_z}{\partial x}+A_z\frac{\partial B_y}{\partial x} \bigg)\\ =\frac{\partial( A_yB_z)}{\partial x}-\frac{\partial( A_zB_y)}{\partial x}=\frac{\partial( A_yB_z-A_zB_y)}{\partial x} B⋅▽×A−A⋅▽×B=B⋅∣∣∣∣∣∣ex∂x∂Axey∂y∂Ayez∂z∂Az∣∣∣∣∣∣−A⋅∣∣∣∣∣∣ex∂x∂Bxey∂y∂Byez∂z∂Bz∣∣∣∣∣∣=(Bxex+Byey+Bzez)⋅((∂y∂Az−∂z∂Ay)ex+(∂z∂Ax−∂x∂Az)ey+(∂x∂Ay−∂y∂Ax)ez)−(Axex+Ayey+Azez)⋅((∂y∂Bz−∂z∂By)ex+(∂z∂Bx−∂x∂Bz)ey+(∂x∂By−∂y∂Bx)ez)=Bx(∂y∂Az−∂z∂Ay)+By(∂z∂Ax−∂x∂Az)+Bz(∂x∂Ay−∂y∂Ax)−(Ax(∂y∂Bz−∂z∂By)+Ay(∂z∂Bx−∂x∂Bz)+Az(∂x∂By−∂y∂Bx))∵Bz∂x∂Ay−By∂x∂Az+Ay∂x∂Bz−Az∂x∂By=(Bz∂x∂Ay+Ay∂x∂Bz)−(By∂x∂Az+Az∂x∂By)=∂x∂(AyBz)−∂x∂(AzBy)=∂x∂(AyBz−AzBy)

同理其他三项可得，证毕
哈密尔顿算子首先考虑矢量性再考虑微分性
▽×(μA⃗)=μ▽×A⃗+▽μ×A⃗\triangledown\times(\mu\vec A)=\mu\triangledown\times\vec A+\triangledown\mu\times\vec A ▽×(μA)=μ▽×A+▽μ×A
μ\muμ 是标量函数，取了梯度变为矢量
▽×(▽μ)≡0\triangledown\times(\triangledown\mu)\equiv 0 ▽×(▽μ)≡0
▽μ=∂μ∂xe⃗x+∂μ∂ye⃗y+∂μ∂xe⃗z▽×(▽μ)=∣e⃗xe⃗ye⃗z∂∂x∂∂y∂∂z∂μ∂x∂μ∂y∂μ∂z∣=(∂2μ∂z∂y−∂2μ∂y∂z)e⃗x+⋯=0\triangledown\mu=\frac{\partial \mu}{\partial x}\vec e_x+\frac{\partial \mu}{\partial y}\vec e_y+\frac{\partial\mu}{\partial x}\vec e_z\\ \triangledown\times(\triangledown\mu)=\left | \begin{matrix} \vec e_x &\vec e_y &\vec e_z\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{\partial\mu}{\partial x} & \frac{\partial\mu}{\partial y} & \frac{\partial\mu}{\partial z} \end{matrix} \right |\\ =\bigg(\frac{\partial^2\mu }{\partial z\partial y}-\frac{\partial^2\mu }{\partial y\partial z}\bigg)\vec e_x+\cdots=0 ▽μ=∂x∂μex+∂y∂μey+∂x∂μez▽×(▽μ)=∣∣∣∣∣∣ex∂x∂∂x∂μey∂y∂∂y∂μez∂z∂∂z∂μ∣∣∣∣∣∣=(∂z∂y∂2μ−∂y∂z∂2μ)ex+⋯=0
取旋度仍为矢量
▽⋅(▽×A⃗)≡0\triangledown\cdot(\triangledown\times\vec A)\equiv 0 ▽⋅(▽×A)≡0
▽⋅(▽×A⃗)=∣∂∂x∂∂y∂∂z∂∂x∂∂y∂∂zAxAyAz∣=0\triangledown\cdot(\triangledown\times\vec A)= \left | \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\ A_x & A_y & A_z \end{matrix} \right | =0 ▽⋅(▽×A)=∣∣∣∣∣∣∂x∂∂x∂Ax∂y∂∂y∂Ay∂z∂∂z∂Az∣∣∣∣∣∣=0
两个恒等式在静电场分析和恒定磁场分析里很重要
拉普拉斯算子
▽⋅(▽μ)=▽2μ\triangledown\cdot(\triangledown\mu)=\triangledown^2\mu ▽⋅(▽μ)=▽2μ
▽⋅(▽μ)=(∂∂xe⃗x+∂∂ye⃗y+∂∂ze⃗z)(∂μ∂xe⃗x+∂μ∂ye⃗y+∂μ∂xe⃗z)=∂2μ∂x2+∂2μ∂y2+∂2μ∂z2\triangledown\cdot(\triangledown\mu)=(\frac{\partial}{\partial x}\vec e_x+\frac{\partial }{\partial y}\vec e_y+\frac{\partial }{\partial z}\vec e_z)(\frac{\partial \mu}{\partial x}\vec e_x+\frac{\partial \mu}{\partial y}\vec e_y+\frac{\partial\mu}{\partial x}\vec e_z)\\ =\frac{\partial^2\mu }{\partial x^2}+\frac{\partial^2\mu }{\partial y^2}+\frac{\partial^2\mu }{\partial z^2} ▽⋅(▽μ)=(∂x∂ex+∂y∂ey+∂z∂ez)(∂x∂μex+∂y∂μey+∂x∂μez)=∂x2∂2μ+∂y2∂2μ+∂z2∂2μ
旋了又旋，矢量的拉普拉斯算子
▽×(▽×A⃗)=▽(▽⋅A⃗)−▽2A⃗\triangledown\times(\triangledown\times\vec A)=\triangledown(\triangledown\cdot\vec A)-\triangledown^2\vec A ▽×(▽×A)=▽(▽⋅A)−▽2A
▽×(▽×A⃗)=▽×((∂Az∂y−∂Ay∂z)e⃗x+(∂Ax∂z−∂Az∂x)e⃗y+(∂Ay∂x−∂Ax∂y)e⃗z)=∣e⃗xe⃗ye⃗z∂∂x∂∂y∂∂z(∂Az∂y−∂Ay∂z)(∂Ax∂z−∂Az∂x)(∂Ay∂x−∂Ax∂y)∣=(∂Ay∂x∂y−∂Ax∂2y−∂Ax∂2z+∂Az∂x∂z)e⃗x+(∂Az∂y∂z−∂Ay∂2z−∂Ay∂2x+∂Ax∂y∂x)e⃗y+(∂Ax∂z∂x−∂Az∂2x−∂Az∂2y+∂Ay∂z∂y)e⃗z=(∂Ay∂x∂y+∂Az∂x∂z)e⃗x+(∂Az∂y∂z+∂Ax∂y∂x)e⃗y+(∂Ax∂z∂x+∂Ay∂z∂y)e⃗z−((∂Ax∂2y+∂Ax∂2z)e⃗x+(∂Ay∂2z+∂Ay∂2x)e⃗y+(∂Az∂2x+∂Az∂2y)e⃗z)\triangledown\times(\triangledown\times\vec A)=\triangledown\times\bigg((\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})\vec e_x+(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})\vec e_y+(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})\vec e_z\bigg)\\ = \left | \begin{matrix} \vec e_x &\vec e_y &\vec e_z\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}) &(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}) &(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}) \end{matrix} \right | \\ =(\frac{\partial A_y}{\partial x\partial y}-\frac{\partial A_x}{\partial^2 y}-\frac{\partial A_x}{\partial^2 z}+\frac{\partial A_z}{\partial x\partial z})\vec e_x\\ +(\frac{\partial A_z}{\partial y\partial z}-\frac{\partial A_y}{\partial^2 z}-\frac{\partial A_y}{\partial^2 x}+\frac{\partial A_x}{\partial y\partial x})\vec e_y\\ +(\frac{\partial A_x}{\partial z\partial x}-\frac{\partial A_z}{\partial^2 x}-\frac{\partial A_z}{\partial^2 y}+\frac{\partial A_y}{\partial z\partial y})\vec e_z\\ =(\frac{\partial A_y}{\partial x\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial x\partial z})\vec e_x+(\frac{\partial A_z}{\partial y\partial z}+\frac{\partial A_x}{\partial y\partial x})\vec e_y+(\frac{\partial A_x}{\partial z\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial z\partial y})\vec e_z\\ -\bigg((\frac{\partial A_x}{\partial^2 y}+\frac{\partial A_x}{\partial^2 z})\vec e_x+(\frac{\partial A_y}{\partial^2 z}+\frac{\partial A_y}{\partial^2 x})\vec e_y+(\frac{\partial A_z}{\partial^2 x}+\frac{\partial A_z}{\partial^2 y})\vec e_z \bigg) ▽×(▽×A)=▽×((∂y∂Az−∂z∂Ay)ex+(∂z∂Ax−∂x∂Az)ey+(∂x∂Ay−∂y∂Ax)ez)=∣∣∣∣∣∣∣ex∂x∂(∂y∂Az−∂z∂Ay)ey∂y∂(∂z∂Ax−∂x∂Az)ez∂z∂(∂x∂Ay−∂y∂Ax)∣∣∣∣∣∣∣=(∂x∂y∂Ay−∂2y∂Ax−∂2z∂Ax+∂x∂z∂Az)ex+(∂y∂z∂Az−∂2z∂Ay−∂2x∂Ay+∂y∂x∂Ax)ey+(∂z∂x∂Ax−∂2x∂Az−∂2y∂Az+∂z∂y∂Ay)ez=(∂x∂y∂Ay+∂x∂z∂Az)ex+(∂y∂z∂Az+∂y∂x∂Ax)ey+(∂z∂x∂Ax+∂z∂y∂Ay)ez−((∂2y∂Ax+∂2z∂Ax)ex+(∂2z∂Ay+∂2x∂Ay)ey+(∂2x∂Az+∂2y∂Az)ez)

▽(▽⋅A⃗)=▽(∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z)=(∂∂xe⃗x)⋅(∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z)+⋯=∂Ax∂2xe⃗x+(∂Ay∂y∂x+∂Az∂z∂x)e⃗x+⋯\triangledown(\triangledown\cdot\vec A)=\triangledown\bigg(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}\bigg)\\ =\bigg(\frac{\partial}{\partial x}\vec e_x\bigg)\cdot\bigg(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}\bigg)+\cdots\\ =\frac{\partial A_x}{\partial^2 x}\vec e_x+\bigg(\frac{\partial A_y}{\partial y\partial x}+\frac{\partial A_z}{\partial z\partial x}\bigg)\vec e_x+\cdots ▽(▽⋅A)=▽(∂x∂Ax+∂y∂Ay+∂z∂Az)=(∂x∂ex)⋅(∂x∂Ax+∂y∂Ay+∂z∂Az)+⋯=∂2x∂Axex+(∂y∂x∂Ay+∂z∂x∂Az)ex+⋯

▽2A⃗=▽2Axe⃗x+▽2Aye⃗y+▽2Aze⃗z=(∂2Ax∂x2+∂2Ax∂y2+∂2Ax∂z2)e⃗x+(∂2Ay∂x2+∂2Ay∂y2+∂2Ay∂z2)e⃗y+(∂2Az∂x2+∂2Az∂y2+∂2Az∂z2)e⃗z\triangledown^2\vec A=\triangledown^2A_x\vec e_x+\triangledown^2A_y\vec e_y+\triangledown^2A_z\vec e_z\\ =\bigg(\frac{\partial^2A_x }{\partial x^2}+\frac{\partial^2A_x }{\partial y^2}+\frac{\partial^2A_x }{\partial z^2}\bigg)\vec e_x\\ +\bigg(\frac{\partial^2A_y }{\partial x^2}+\frac{\partial^2A_y }{\partial y^2}+\frac{\partial^2A_y }{\partial z^2}\bigg)\vec e_y\\ +\bigg(\frac{\partial^2A_z }{\partial x^2}+\frac{\partial^2A_z }{\partial y^2}+\frac{\partial^2A_z }{\partial z^2}\bigg)\vec e_z ▽2A=▽2Axex+▽2Ayey+▽2Azez=(∂x2∂2Ax+∂y2∂2Ax+∂z2∂2Ax)ex+(∂x2∂2Ay+∂y2∂2Ay+∂z2∂2Ay)ey+(∂x2∂2Az+∂y2∂2Az+∂z2∂2Az)ez
▽(▽⋅A⃗)−▽2A⃗=∂Ax∂2xe⃗x+(∂Ay∂y∂x+∂Az∂z∂x)e⃗x−(∂2Ax∂x2+∂2Ax∂y2+∂2Ax∂z2)e⃗x+⋯=(∂Ay∂y∂x+∂Az∂z∂x)e⃗x−(∂2Ax∂y2+∂2Ax∂z2)e⃗x+⋯\triangledown(\triangledown\cdot\vec A)-\triangledown^2\vec A\\ =\frac{\partial A_x}{\partial^2 x}\vec e_x+\bigg(\frac{\partial A_y}{\partial y\partial x}+\frac{\partial A_z}{\partial z\partial x}\bigg)\vec e_x-\bigg(\frac{\partial^2A_x }{\partial x^2}+\frac{\partial^2A_x }{\partial y^2}+\frac{\partial^2A_x }{\partial z^2}\bigg)\vec e_x+\cdots\\ =\bigg(\frac{\partial A_y}{\partial y\partial x}+\frac{\partial A_z}{\partial z\partial x}\bigg)\vec e_x-\bigg(\frac{\partial^2A_x }{\partial y^2}+\frac{\partial^2A_x }{\partial z^2}\bigg)\vec e_x+\cdots ▽(▽⋅A)−▽2A=∂2x∂Axex+(∂y∂x∂Ay+∂z∂x∂Az)ex−(∂x2∂2Ax+∂y2∂2Ax+∂z2∂2Ax)ex+⋯=(∂y∂x∂Ay+∂z∂x∂Az)ex−(∂y2∂2Ax+∂z2∂2Ax)ex+⋯

其它三项均可证得，证毕

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