强联通分量与双连通分量

强联通分量

1.概念

在有向图G中，如果两点互相可达，则称这两个点强连通，如果G中任意两点互相可达，则称G是强连通图。

定理： 1、一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，它至少包含每个节点一次。

2、非强连通有向图的极大强连通子图，称为强连通分量（SCC即Strongly Connected Componenet）。

任意有向图都可以分解成若不相干的强连通分量，这就是强连通分量分解。把分解后的强连通分量缩成一个顶点，就得到了一个DAG(有向无环图)。

2.Korasaju算法

强连通分量分解可以通过两次简单的DFS实现。第一次DFS时，选取任意顶点作为起点，遍历所有尚未访问过的顶点，并在回溯前给顶点标号(post order，后序遍历)。对剩余的未访问过的顶点，不断重复上述过程。

完成标号后，越接近图的尾部(搜索树的叶子)，顶点的标号越小。第二次DFS时，先将所有边反向，然后以标号最大的顶点为起点进行DFS。这样DFS所遍历的顶点集合就构成了一个强连通分量。之后，只要还有尚未访问的顶点，就从中选取标号最大的顶点不断重复上述过程。

package 图论;import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;public class 强联通分量_Korasaju {static int n, m;static ArrayList<Integer>[] list1;static ArrayList<Integer>[] list2;static ArrayList<Integer> vs = new ArrayList<Integer>();static boolean[] vis;static int[] collection;// 强联通分量集合，同一个集合数字相同static void init() {list1 = new ArrayList[n];for (int i = 0; i < n; i++) {list1[i] = new ArrayList<Integer>();}list2 = new ArrayList[n];for (int i = 0; i < n; i++) {list2[i] = new ArrayList<Integer>();}vis = new boolean[n];collection = new int[n];}static void dfs(int u) {vis[u] = true;for (int j = 0; j < list1[u].size(); j++) {int v = list1[u].get(j);if (!vis[v]) {dfs(v);}}// 标号vs.add(u);}//搜索反向图static void rdfs(int u, int k) {vis[u] = true;collection[u] = k;// 顶点u属于第k个强联通分量集合for (int j = 0; j < list2[u].size(); j++) {int v = list2[u].get(j);if (!vis[v]) {rdfs(v, k);}}}static void scc() {// 遍历每一个顶点for (int i = 0; i < n; i++) {if (!vis[i])dfs(i);}for (int i = 0; i < n; i++) {vis[i] = false;}int k = 0;for (int i = vs.size() - 1; i >= 0; i--) {int v = vs.get(i);if (!vis[v]) {rdfs(v, k++);}}System.out.println("强联通分量集合：");System.out.println(Arrays.toString(collection));}public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubScanner sc = new Scanner(System.in);n = sc.nextInt();m = sc.nextInt();init();for (int i = 0; i < m; i++) {int u = sc.nextInt() - 1;int v = sc.nextInt() - 1;list1[u].add(v);list2[v].add(u);// 反向建图}scc();}}
/*
12
16
12 11
11 8
11 10
8 10
10 9
9 8
9 7
7 6
5 7
6 5
6 4
6 3
4 3
2 3
3 2
4 1
*/

3.Tarjan算法

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

那么怎么判断呢？

强连通分量是由若干个环组成的。所以，当有环形成时（也就是搜索的下一个点已在栈中），我们将这一条路径的low值统一，即这条路径上的点属于同一个强连通分量。

代码如下：

package 图论;import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
import java.util.Stack;public class 强联通分量_tarjan {static int n, m, cnt, scc_cnt;static ArrayList<Integer>[] list;static boolean[] vis;static int[] dfn, low, num;static Stack<Integer> stack = new Stack<Integer>();static void init() {list = new ArrayList[n];for (int i = 0; i < n; i++) {list[i] = new ArrayList<Integer>();}vis = new boolean[n];dfn = new int[n];low = new int[n];num = new int[n];}static void tarjan(int u) {vis[u] = true;dfn[u] = low[u] = ++cnt;stack.add(u);for (int i = 0; i < list[u].size(); i++) {int v = list[u].get(i);// 如果下一个节点没有访问过if (!vis[v]) {tarjan(v);low[u] = Math.min(low[u], low[v]);// 如果下一个节点已经被访问过了,且不属于任何一个连通分量} else if (stack.contains(v)) {// v是连通分量一个节点，统一low值low[u] = Math.min(low[u], dfn[v]);}}// 如果节点u是强连通分量的根// 满足强连通分量的要求，当前节点u为该强连通分量最早发现的节点if (dfn[u] == low[u]) {scc_cnt++;// 强联通分量个数while (true) {int v = stack.pop();// 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点num[v] = scc_cnt;// 同一个连通分量的同一个数字if (u == v)break;}}}public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubScanner sc = new Scanner(System.in);n = sc.nextInt();m = sc.nextInt();init();for (int i = 0; i < m; i++) {int u = sc.nextInt() - 1;int v = sc.nextInt() - 1;list[u].add(v);}for (int i = 0; i < n; i++) {if (!vis[i]) {tarjan(i);}}System.out.println(Arrays.toString(num));}}
/** 6 8 1 2 1 3 2 4 3 4 3 5 4 1 4 6 5 6*/

双连通分量

双连通与强连通，最本质的差别就是前者适用于无向图中，而后者适用于有向图。至于两者的概念是一样的，就是图中有a点、b点，从a点可到达b点，同时从b点可到达a点。（若是有向图必须延方向到达。）

其中双连通分量可细分为：点-双连通分量，边-双连通分量。所谓点-双连通分量是指在一个无向图中两点间至少有两条路径，且路径中（不算头尾）的点不同。不同的点-双连通分量最多有一个公共点，这个点必定是“割点”。

边-双连通分量是指在一个无向图中两点间至少有两条路径，且路径中的边不同。边-双连通分量中一定没有桥。

点-双连通图：一个连通的无向图内部没有割点，那么该图是点-双连通图。
注意：孤立点，以及两点一边这两种图都是点-双连通的，因为它们都是内部无割点。
边-双连通图：一个连通的无向图内部没有桥，那么该图就是边-双连通图。
注意：孤立点是边-双连通的，但是两点一边不是边-双连通的。

所以可以看出判断双连通分量的条件：

判断一个图是不是点-双连通的只要看图中是否有割点。（比寻找割点多了个栈而已）

判断一个图是不是边-双连通的只要看图中是否有桥。