题面

Pudding Monsters

问题描述

由于各种原因，桐人现在被困在 UnderWorldUnder WorldUnderWorld（以下简称 UWUWUW）中，而 UWUWUW 马上要迎来最终的压力测试——魔界入侵。
唯一一个神一般存在的 AdministratorAdministratorAdministrator 被消灭了，靠原本的整合骑士的力量
是远远不够的。所以爱丽丝动员了 UWUWUW 全体人民，与整合骑士一起抗击魔族。
在 UWUWUW 的驻地可以隐约看见魔族军队的大本营。整合骑士们打算在魔族入侵前发动一次奇袭，袭击魔族大本营！
为了降低风险，爱丽丝找到了你，一名优秀斥候，希望你能在奇袭前对魔族大本营进行侦查，并计算出袭击的难度。
经过侦查，你绘制出了魔族大本营的地图，然后发现，魔族大本营是一个 N×NN×NN×N 的网格图，一共有 NNN 支军队驻扎在一些网格中（不会有两只军队驻扎在一起）。
在大本营中，每有一个 k×k(1≤k≤N)k×k\ (1≤k≤N)k×k (1≤k≤N) 的子网格图包含恰好 kkk 支军队，我们袭击的难度就会增加 111 点。
现在请你根据绘制出的地图，告诉爱丽丝这次的袭击行动难度有多大。

输入格式

第一行，一个正整数 NNN，表示网格图的大小以及军队数量。
接下来 NNN 行，每行两个整数,Xi,YiX_i,Y_iXi,Yi，表示第i支军队的坐标。
保证每一行和每一列都恰有一只军队,即每一个 XiX_iXi 和每一个 YiY_iYi 都是不一样的。

输出格式

一行，一个整数表示袭击的难度。

样例

Input

5
1 1
3 2
2 4
5 5
4 3

Output

题解

唉，考试的时候没有看到加粗的那行字，直接 GGGGGG。
根据加粗的那行字，每行每列有且只有一个大本营，明显我们可以把二维的图映射到一个序列上，将二维问题转化为一维问题。
行号对应每个大本营在序列上的位置，列号对应每个大本营在序列上的权值。
不难发现这 nnn 个大本营就转化为了一个 111~nnn 的排列。而我们要求的问题，就转化为了满足 max−min=R−Lmax - min = R - Lmax−min=R−L 的区间 [L,RL,RL,R] 的个数为多少。
因为 max,minmax,minmax,min 分别对应着列号的最大最小值，R,LR,LR,L 分别对应着行号的最大最小值。满足上诉条件的区间就代表一个边长为 R−LR - LR−L（或者 max−minmax - minmax−min）的正方形里有 R−LR - LR−L（或者 max−minmax - minmax−min）个大本营。
注意我们要把二维矩阵中包含的所有正方形都统计完，而它们在序列上分别对应着区间 [1,11,11,1],[1,21,21,2]…[1,n1,n1,n]…[n,1n,1n,1],[n,2n,2n,2]…[n,nn,nn,n]。
尝试用线段树 + 扫描线维护。
将上述等式移项，记 Min=max−min−R+LMin = max - min - R + LMin=max−min−R+L，因为这是一个 111 ~ nnn 的排列，根据鸽巢原理，显然有max−min≥R−Lmax - min \geq R - Lmax−min≥R−L，所以有： Min≥0Min\geq 0Min≥0，那么显然满足条件的序列的 MinMinMin 值为 000，所以我们只用在线段树上维护 MinMinMin就好了，因为还要求个数，所以再维护值为 MinMinMin 的个数。
当扫描到 RRR 时，线段树上的单位节点 [l,rl,rl,r] 储存区间 [l,Rl,Rl,R],[l+1,Rl + 1,Rl+1,R]…[r,Rr,Rr,R] 对应的 MinMinMin 的值，和值为 MinMinMin 的区间的个数。
那么我们就得到了下述的基本框架，线段树的细节见代码：

当每次 R++R++R++ 后，MinMinMin 的值显然会减一，区间修改。
对于 max,minmax,minmax,min 的维护，我们可以用两个单调栈。
每次单调栈的栈顶元素更新时，显然对于 statop−1sta_{top - 1}statop−1 ~ statopsta_{top}statop（还未更新）对应的序列的位置的 MinMinMin 值都因为 maxmaxmax 或 minminmin 的值的改变而受到了影响需要改变，再次进行区间修改。
每次维护结束后 queryqueryquery 一次累加入答案。

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>using namespace std;const int N = 3e5 + 5;struct SegmentTree {#define M N << 2int l[M],r[M],Min[M],tag[M];long long cnt[M];void build(int p,int lf,int rg) {l[p] = lf,r[p] = rg;if(lf == rg) {Min[p] = lf; cnt[p] = 1;return;}int mid = (lf + rg) >> 1;build(p << 1,lf,mid);build(p << 1 | 1,mid + 1,rg);Min[p] = Min[p << 1];}inline void pushdown(int p) {if(!tag[p]) return;Min[p << 1] += tag[p];Min[p << 1 | 1] += tag[p];tag[p << 1] += tag[p];tag[p << 1 | 1] += tag[p];tag[p] = 0;}inline void pushup(int p) {Min[p] = min(Min[p << 1],Min[p << 1 | 1]); cnt[p] = 0;if(Min[p] == Min[p << 1]) cnt[p] += cnt[p << 1];if(Min[p] == Min[p << 1 | 1]) cnt[p] += cnt[p << 1 | 1];}void add(int p,int L,int R,int k) {if(L <= l[p] && r[p] <= R) {Min[p] += k; tag[p] += k;return;}pushdown(p);int mid = (l[p] + r[p]) >> 1;if(L <= mid) add(p << 1,L,R,k);if(R >  mid) add(p << 1 | 1,L,R,k);pushup(p);}long long query(int p,int L,int R) {if(L <= l[p] && r[p] <= R) return Min[p] == 0 ? cnt[p] : 0;int mid = (l[p] + r[p]) >> 1;long long ans = 0; pushdown(p);if(L <= mid) ans += query(p << 1,L,R);if(R >  mid) ans += query(p << 1 | 1,L,R);return ans;}
}tr;
struct data {int x,y;bool operator < (const data n) const {return x < n.x;        }
}a[N],sta1[N],sta2[N];
inline int read() {int x = 0,flag = 1;char ch = getchar();while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-')flag = -1;ch = getchar();}while(ch >='0' && ch <='9'){x = (x << 3) + (x << 1) + ch - 48;ch = getchar();}return x * flag;
}
int main() {int n = read(); int top1 = 0,top2 = 0;for(int i = 1; i <= n; i++)a[i].x = read(),a[i].y = read();sort(a + 1,a + 1 + n); tr.build(1,1,n);long long ans = 0;for(int i = 1; i <= n; i++) {tr.add(1,1,n,-1);while(top1 && sta1[top1].y < a[i].y)tr.add(1,sta1[top1 - 1].x + 1,sta1[top1].x,a[i].y - sta1[top1].y),--top1;sta1[++top1] = (data) {i,a[i].y};while(top2 && sta2[top2].y > a[i].y)tr.add(1,sta2[top2 - 1].x + 1,sta2[top2].x,sta2[top2].y - a[i].y),--top2;sta2[++top2] = (data) {i,a[i].y};ans += tr.query(1,1,i);}printf("%lld",ans);return 0;
}

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