数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

1、建模步骤

模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

2、数学建模问题

1.数据处理 2.关联与分析 3.分类与判别 4.评价与决策 5.预测与预报 6.优化与控制

（1）数据处理问题

•①插值拟合

•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

•主要用于数据的截取或者特征选择

（2）关联与因果

•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

•②Superman或kendall等级相关分析

•③Person相关（样本点的个数比较多）

•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）

（3）分类与判别

•①距离聚类（系统聚类）常用

•②关联性聚类（常用）

•③层次聚类

•④密度聚类

•⑤其他聚类

•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）

（4）评价与决策

•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

•⑨方差分析、协方差分析等

• 方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题

（5）预测与预报

•主要有五种：

•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归

•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络

•①灰色预测模型（★）

• 满足两个条件可用：

• a数据样本点个数少，6-15个

• b数据呈现指数或曲线的形式

•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。

•③回归分析预测（★）

• 求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

• 样本点的个数有要求：

• a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

• b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

• c因变量要符合正态分布

•④马尔科夫预测（备用）

• 一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率

•⑤时间序列预测（★）

• 与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

•⑥小波分析预测

•⑦神经网络预测

•⑧混沌序列预测

（6）优化与控制

•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

•②非线性规划与智能优化算法

•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

•④动态规划

•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

•⑥排队论与计算机仿真

•⑦模糊规划（范围约束）

•⑧灰色规划（难）

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