1.5 多元函数积分学

第一章数学分析

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1.5 多元函数积分学

二重积分的中值定理

设f(x,y)f(x,y)f(x,y)在有界闭区域DDD上连续，区域DDD的面积为σ\sigmaσ，则

∃(ξ,η)∈D,s.t.∬Df(x,y)dσ=f(ξ,η)σ\exist(\xi,\eta)\in D,s.t.\iint\limits_Df(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)\sigma∃(ξ,η)∈D,s.t.D∬f(x,y)dσ=f(ξ,η)σ
二重积分的一般换元

∬Dxyf(x,y)dxdy=∬Duvf(x(u,v),y(u,v))∣J∣dudv\iint\limits_{D_{xy}}f(x,y)dxdy=\iint\limits_{D_{uv}}f(x(u,v),y(u,v))|J|dudvDxy∬f(x,y)dxdy=Duv∬f(x(u,v),y(u,v))∣J∣dudv

其中JacobiJacobiJacobi矩阵的行列式∣J∣=∣∂(x,y)∂(u,v)∣=∣xuxvyuyv∣=∣uxuyvxvy∣−1|J|=|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|=\begin{vmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{vmatrix}^{-1}∣J∣=∣∂(u,v)∂(x,y)∣=xuyuxvyv=uxvxuyvy−1
二重积分的极坐标变换

{x=rcos⁡θy=rsin⁡θ⇒∣J∣=∣∂(x,y)∂(r,θ)∣=r\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}\Rightarrow|J|=|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}|=r{x=rcosθy=rsinθ⇒∣J∣=∣∂(r,θ)∂(x,y)∣=r

更一般地

{x=x0+arcos⁡θy=y0+brsin⁡θ⇒∣J∣=∣∂(x,y)∂(r,θ)∣=abr\begin{cases}x=x_0+ar\cos\theta\\y=y_0+br\sin\theta\end{cases}\Rightarrow|J|=|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}|=abr{x=x0+arcosθy=y0+brsinθ⇒∣J∣=∣∂(r,θ)∂(x,y)∣=abr
三重积分的一般换元

∭Ωxyzf(x,y,z)dxdydz=∭Ωuvwf(x,y,z)∣J∣dudvdw\iiint\limits_{\Omega_{xyz}}f(x,y,z)dxdydz=\iiint\limits_{\Omega_{uvw}}f(x,y,z)|J|dudvdwΩxyz∭f(x,y,z)dxdydz=Ωuvw∭f(x,y,z)∣J∣dudvdw

其中JacobiJacobiJacobi矩阵的行列式∣J∣=∣∂(x,y,z)∂(u,v,w)∣=∣xuxvxwyuyvywzuzvzw∣=∣uxuyuzvxvyvzwxwywz∣−1|J|=|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}|=\begin{vmatrix}x_u&x_v&x_w\\y_u&y_v&y_w\\z_u&z_v&z_w\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\\w_x&w_y&w_z\end{vmatrix}^{-1}∣J∣=∣∂(u,v,w)∂(x,y,z)∣=xuyuzuxvyvzvxwywzw=uxvxwxuyvywyuzvzwz−1
三重积分的柱坐标变换

{x=rcos⁡θy=rsin⁡θz=z⇒∣J∣=∣∂(x,y,z)∂(r,θ,z)∣=r\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\\z=z\end{cases}\Rightarrow|J|=|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}|=r⎩⎨⎧x=rcosθy=rsinθz=z⇒∣J∣=∣∂(r,θ,z)∂(x,y,z)∣=r

更一般地

{x=x0+arcos⁡θy=y0+brsin⁡θz=z0+z⇒∣J∣=∣∂(x,y,z)∂(r,θ,z)∣=abr\begin{cases}x=x_0+ar\cos\theta\\y=y_0+br\sin\theta\\z=z_0+z\end{cases}\Rightarrow|J|=|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}|=abr⎩⎨⎧x=x0+arcosθy=y0+brsinθz=z0+z⇒∣J∣=∣∂(r,θ,z)∂(x,y,z)∣=abr
三重积分的球坐标变换

{x=rsin⁡φcos⁡θy=rsin⁡φsin⁡θz=rcos⁡φ⇒∣J∣=∣∂(x,y,z)∂(r,θ,φ)∣=r2sin⁡φ\begin{cases}x=r\sin\varphi\cos\theta\\y=r\sin\varphi\sin\theta\\z=r\cos\varphi\end{cases}\Rightarrow|J|=|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}|=r^2\sin\varphi⎩⎨⎧x=rsinφcosθy=rsinφsinθz=rcosφ⇒∣J∣=∣∂(r,θ,φ)∂(x,y,z)∣=r2sinφ

更一般地

{x=x0+arsin⁡φcos⁡θy=y0+brsin⁡φsin⁡θz=z0+crcos⁡φ⇒∣J∣=∣∂(x,y,z)∂(r,θ,φ)∣=abcr2sin⁡φ\begin{cases}x=x_0+ar\sin\varphi\cos\theta\\y=y_0+br\sin\varphi\sin\theta\\z=z_0+cr\cos\varphi\end{cases}\Rightarrow|J|=|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}|=abcr^2\sin\varphi⎩⎨⎧x=x0+arsinφcosθy=y0+brsinφsinθz=z0+crcosφ⇒∣J∣=∣∂(r,θ,φ)∂(x,y,z)∣=abcr2sinφ
空间曲面的面积

z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在区域DDD上的曲面面积为

S=∬SdS=∬D1+zx2+zy2dxdyS=\iint\limits_SdS=\iint\limits_D\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdyS=S∬dS=D∬1+zx2+zy2dxdy
质心坐标

以二维为例

x‾=∬xρ(x,y)dxdy∬ρ(x,y)dxdy,y‾=∬yρ(x,y)dxdy∬ρ(x,y)dxdy\overline x=\frac{\iint x\rho(x,y)dxdy}{\iint\rho(x,y)dxdy},\overline y=\frac{\iint y\rho(x,y)dxdy}{\iint\rho(x,y)dxdy}x=∬ρ(x,y)dxdy∬xρ(x,y)dxdy,y=∬ρ(x,y)dxdy∬yρ(x,y)dxdy
转动惯量

Jl=∬Dr2(x,y)ρ(x,y)dxdyJ_l=\iint\limits_Dr^2(x,y)\rho(x,y)dxdyJl=D∬r2(x,y)ρ(x,y)dxdy
万有引力分量

Fi=∭Ωmρ(x,y,z)(i−i0)r3dxdydz,i∈{x,y,z}F_i=\iiint\limits_\Omega\frac{m\rho(x,y,z)(i-i_0)}{r^3}dxdydz,i\in\{x,y,z\}Fi=Ω∭r3mρ(x,y,z)(i−i0)dxdydz,i∈{x,y,z}
第一类曲线积分

设曲线L:{x=x(t)y=y(t),t∈[α,β]L:\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases},t\in[\alpha,\beta]L:{x=x(t)y=y(t),t∈[α,β]，则f(x,y)f(x,y)f(x,y)沿LLL的积分为

∫Lf(x,y)ds=∫αβf(x(t),y(t))xt2+yt2dt\int\limits_Lf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t))\sqrt{x_t^2+y_t^2}dtL∫f(x,y)ds=∫αβf(x(t),y(t))xt2+yt2dt
第二类曲线积分

设曲线L:{x=x(t)y=y(t),t∈[α,β]L:\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases},t\in[\alpha,\beta]L:{x=x(t)y=y(t),t∈[α,β]，则F⃗(x,y)\vec F(x,y)F(x,y)沿LLL的积分为

∫LF⃗(x,y)ds⃗=∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy\int\limits_L\vec F(x,y)d\vec s=\int\limits_LP(x,y)dx+Q(x,y)dyL∫F(x,y)ds=L∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy

进一步

∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβ[P(x(t),y(t))x′(t)+Q(x(t),y(t))y′(t)]dt\int\limits_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_\alpha^\beta [P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)]dtL∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβ[P(x(t),y(t))x′(t)+Q(x(t),y(t))y′(t)]dt
第一类曲线积分与第二类曲线积分互相转化

若(cos⁡α,cos⁡β)为沿曲线方向的单位切向量,则{dx=dscos⁡αdy=dscos⁡β若(\cos\alpha,\cos\beta)为沿曲线方向的单位切向量,则\begin{cases}dx=ds\cos\alpha\\dy=ds\cos\beta\end{cases}若(cosα,cosβ)为沿曲线方向的单位切向量,则{dx=dscosαdy=dscosβ
GreenGreenGreen公式

设区域DDD是由分段光滑的曲线LLL围成，且P(x,y),Q(x,y)P(x,y),Q(x,y)P(x,y),Q(x,y)在DDD上具有一阶连续偏导，则

∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∮LPdx+Qdy\iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint\limits_LPdx+QdyD∬(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=L∮Pdx+Qdy

特别地，闭合曲线LLL围成的面积为

S=∬Ddxdy=∮Lxdy=12∮Lxdy−ydxS=\iint\limits_Ddxdy=\oint\limits_Lxdy=\frac 12\oint\limits_Lxdy-ydxS=D∬dxdy=L∮xdy=21L∮xdy−ydx
平面曲线积分与路径无关

设D是单连通闭区域,且P,Q在D上具有一阶连续偏导数，则在区域D内以下四个条件等价:(1)∫LPdx+Qdy积分值与路径无关(2)任意一条光滑闭曲线L,有∮LPdx+Qdy=0(3)存在可微函数u(x,y),使得du=Pdx+Qdy(4)∂Q∂x=∂P∂y\begin{aligned} &设D是单连通闭区域,且P,Q在D上具有一阶连续偏导数，则在区域D内以下四个条件等价:\\ &(1)\int\limits_LPdx+Qdy积分值与路径无关\\ &(2)任意一条光滑闭曲线L,有\oint\limits_LPdx+Qdy=0\\ &(3)存在可微函数u(x,y),使得du=Pdx+Qdy\\ &(4)\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} \end{aligned}设D是单连通闭区域,且P,Q在D上具有一阶连续偏导数，则在区域D内以下四个条件等价:(1)L∫Pdx+Qdy积分值与路径无关(2)任意一条光滑闭曲线L,有L∮Pdx+Qdy=0(3)存在可微函数u(x,y),使得du=Pdx+Qdy(4)∂x∂Q=∂y∂P
第一类曲面积分

设曲面Σ:z=z(x,y)\Sigma:z=z(x,y)Σ:z=z(x,y)，函数f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z)在曲面Σ\SigmaΣ上的积分为

∬Σf(x,y,z)dS=∬Dxyf(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dxdy\iint\limits_\Sigma f(x,y,z)dS=\iint\limits_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdyΣ∬f(x,y,z)dS=Dxy∬f(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dxdy
第一类曲面积分换元公式

若曲面Σ\SigmaΣ以参数形式给出或换元为参数形式{x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)\end{cases}⎩⎨⎧x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)，则f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z)在曲面Σ\SigmaΣ上的积分为

∬Σf(x,y,z)dS=∬Duvf(x,y,z)EG−F2dudv\iint\limits_\Sigma f(x,y,z)dS=\iint\limits_{D_{uv}}f(x,y,z)\sqrt{EG-F^2}dudvΣ∬f(x,y,z)dS=Duv∬f(x,y,z)EG−F2dudv

其中E,F,GE,F,GE,F,G称为曲面Σ\SigmaΣ的第一基本量：{E=xu2+yu2+zu2F=xuxv+yuyv+zuzvG=xv2+yv2+zv2\begin{cases}E=x_u^2+y_u^2+z_u^2\\F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v\\G=x_v^2+y_v^2+z_v^2\end{cases}⎩⎨⎧E=xu2+yu2+zu2F=xuxv+yuyv+zuzvG=xv2+yv2+zv2
第二类曲面积分

曲面向上、向右、向前时为正方向

∬LF⃗(x,y,z)dS⃗=∫LPdydz+Qdzdx+Rdxdy\iint\limits_L\vec F(x,y,z)d\vec S=\int\limits_LPdydz+Qdzdx+RdxdyL∬F(x,y,z)dS=L∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
第一类曲面积分与第二类曲面积分互相转化

若(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)为曲面方向的单位法向量,则{dydz=dScos⁡αdzdx=dScos⁡βdxdy=dScos⁡γ若(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)为曲面方向的单位法向量,则\begin{cases}dydz=dS\cos\alpha\\dzdx=dS\cos\beta\\dxdy=dS\cos\gamma\end{cases}若(cosα,cosβ,cosγ)为曲面方向的单位法向量,则⎩⎨⎧dydz=dScosαdzdx=dScosβdxdy=dScosγ

以上关系也用于同一积分在不同投影曲面之间的相互转化
GaussGaussGauss公式

设函数P,Q,RP,Q,RP,Q,R在封闭区域Ω\OmegaΩ内有一阶连续偏导，Σ\SigmaΣ为区域Ω\OmegaΩ的边界，并取外侧，则

∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dxdydz=∯ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy\iiint\limits_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz=\oiint\limits_{\Sigma} Pdydz+Qdzdx+RdxdyΩ∭(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dxdydz=Σ∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
StokesStokesStokes公式

设函数P,Q,RP,Q,RP,Q,R在曲面Σ\SigmaΣ内有一阶连续偏导，Γ\GammaΓ为曲面Σ\SigmaΣ的正向边界，则

KaTeX parse error: Expected group after '_' at position 6: \iint_̲\limits\Sigma(\…

或者记为行列式形式

KaTeX parse error: Expected group after '_' at position 6: \iint_̲\limits\Sigma\b…
空间曲线积分与路径无关

设Ω是单连通闭区域,且P,Q,R在Ω上具有一阶连续偏导数，则在区域Ω内以下四个条件等价:(1)∫LPdx+Qdy+Rdz积分值与路径无关(2)任意一条光滑闭曲线L,有∮LPdx+Qdy+Rdz=0(3)存在可微函数u(x,y,z),使得du=Pdx+Qdy+Rdz(4)∂Q∂x=∂P∂y,∂R∂y=∂Q∂z,∂P∂z=∂R∂x\begin{aligned} &设\Omega是单连通闭区域,且P,Q,R在\Omega上具有一阶连续偏导数，则在区域\Omega内以下四个条件等价:\\ &(1)\int\limits_LPdx+Qdy+Rdz积分值与路径无关\\ &(2)任意一条光滑闭曲线L,有\oint\limits_LPdx+Qdy+Rdz=0\\ &(3)存在可微函数u(x,y,z),使得du=Pdx+Qdy+Rdz\\ &(4)\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x} \end{aligned}设Ω是单连通闭区域,且P,Q,R在Ω上具有一阶连续偏导数，则在区域Ω内以下四个条件等价:(1)L∫Pdx+Qdy+Rdz积分值与路径无关(2)任意一条光滑闭曲线L,有L∮Pdx+Qdy+Rdz=0(3)存在可微函数u(x,y,z),使得du=Pdx+Qdy+Rdz(4)∂x∂Q=∂y∂P,∂y∂R=∂z∂Q,∂z∂P=∂x∂R
场论初步

HamiltonHamiltonHamilton算子

∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)\nabla=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})∇=(∂x∂,∂y∂,∂z∂)

梯度、散度与旋度

若定义数量场f=f(x,y,z)和向量场F⃗=(P,Q,R),则有:从数量场到向量场的梯度:grad(f)=∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)从向量场到数量场的散度:div(f)=∇⋅f=∂f∂x+∂f∂y+∂f∂z从向量场到向量场的旋度:rot(F⃗)=∇×F⃗=(∂R∂y−∂Q∂z,∂P∂z−∂R∂x,∂Q∂x−∂P∂y)\begin{aligned} &若定义数量场f=f(x,y,z)和向量场\vec F=(P,Q,R),则有:\\ &从数量场到向量场的梯度:grad(f)=\nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})\\ &从向量场到数量场的散度:div(f)=\nabla\cdot f=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}\\ &从向量场到向量场的旋度:rot(\vec F)=\nabla\times\vec F=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}) \end{aligned}若定义数量场f=f(x,y,z)和向量场F=(P,Q,R),则有:从数量场到向量场的梯度:grad(f)=∇f=(∂x∂f,∂y∂f,∂z∂f)从向量场到数量场的散度:div(f)=∇⋅f=∂x∂f+∂y∂f+∂z∂f从向量场到向量场的旋度:rot(F)=∇×F=(∂y∂R−∂z∂Q,∂z∂P−∂x∂R,∂x∂Q−∂y∂P)

有势场、保守场与无旋场

对于向量场F⃗=(P,Q,R),定义如下三种性质:(1)F⃗是有势场⇔存在数量场u(x,y,z),使得grad(u)=F⃗(2)F⃗是保守场⇔对任意闭曲线Γ,有∮ΓPdx+Qdy+Rdz=0(3)F⃗是无旋场⇔对空间中任意一点,有rot(F⃗)=0且以上三种定义在数学上等价\begin{aligned} &对于向量场\vec F=(P,Q,R),定义如下三种性质:\\ &(1)\vec F是有势场\Leftrightarrow存在数量场u(x,y,z),使得grad(u)=\vec F\\ &(2)\vec F是保守场\Leftrightarrow对任意闭曲线\Gamma,有\oint\limits_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz=0\\ &(3)\vec F是无旋场\Leftrightarrow对空间中任意一点,有rot(\vec F)=0\\ &且以上三种定义在数学上等价 \end{aligned}对于向量场F=(P,Q,R),定义如下三种性质:(1)F是有势场⇔存在数量场u(x,y,z),使得grad(u)=F(2)F是保守场⇔对任意闭曲线Γ,有Γ∮Pdx+Qdy+Rdz=0(3)F是无旋场⇔对空间中任意一点,有rot(F)=0且以上三种定义在数学上等价
场论与积分公式

GreenGreenGreen公式和StokesStokesStokes公式

∬Σrot(F⃗)⋅dS⃗=∮ΓF⃗⋅ds⃗\iint\limits_\Sigma rot(\vec F)\cdot d\vec S=\oint\limits_\Gamma\vec F\cdot d\vec sΣ∬rot(F)⋅dS=Γ∮F⋅ds

GaussGaussGauss公式

∭Ωdiv(F⃗)dΩ=∯SF⃗⋅dS⃗\iiint\limits_\Omega div(\vec F)d\Omega=\oiint\limits_S\vec F\cdot d\vec SΩ∭div(F)dΩ=S∬F⋅dS

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