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一、微分中值定理

1.费马引理

设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域 $U(x_{0})$ 内有定义，并且在 $x_{0}$ 处可导，如果对任意 $x \in U(x_{0})$ 有 $f(x) \leq f(x_{0})$ （或 $f(x) \geq f(x_{0})$ ），则 $f’(x_{0})=0$。

证明费马引理

$$不妨假设\forall x\in U(x_{0}),f(x) \leq f(x_{0})$$
$$当x \to x_{0}^{+},\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \leq 0$$
$$由保号性知：f’_{+}(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}^{+}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \leq 0$$
$$当x \to x_{0}^{-},\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \geq 0$$
$$由保号性知：f’_{-}(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}^{-}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \geq 0$$
$$又\because f’(x_{0}) \exists ，故f’_{+}(x_{0}) = f’_{-}(x_{0})$$
$$又f’_{+}(x_{0})\leq 0 , f’_{-}(x_{0}) \geq 0$$
$$从而f’(x_{0}) = f’_{+}(x_{0}) = f’_{-}(x_{0}) = 0$$

另

可导函数的极值点一定是驻点

极值点：$$\forall x \in \bigcup^{0}(x_{0})$$
如果，当$f(x) < f(x_{0})$，称$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处取得极大值， $x_{0}$ 为极大值点
反之，当$f(x) > f(x_{0})$，称$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处取得极小值， $x_{0}$ 为极小值点
驻点：$f’(x)=0$的点。

注（关于极值点）

1. 端点一定不是极值点
2. 极值点不一定是连续点
3. 区间内部的最值点一定是极值点
4. 区间内部唯一的极值点也一定是最值点

费马引理的应用

证某函数一阶导存在“零点”，已知不等式（内部找极值）

2. 罗尔定理

设函数$f(x)$ 满足：（1）在闭区间 $[a,b]$ 上连续；（2）在开区间 $(a,b)$ 内可导；（3） $f(a) = f(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $f’(\xi)=0$。

证罗尔定理

$$\because f(x) 在 [a,b]上连续$$
$$故f(x)在[a,b]上一定既有最大值M，也有最小值m$$
$$若M=m，此时f(x) = C = M$$
$$从而f’(x) = 0，当 \xi 取值(a,b)内任何一点时，f’(\xi)=0$$
$$若M \not= m$$
$$又f(a)=f(b)，则\exists \xi \in (a,b)，使得f(\xi) = M或f(\xi) = m$$
$$由费马引理知 f’(\xi) = 0$$
$$综上所述， \exists \xi \in (a,b),使得f’(\xi)=0$$

罗尔定理的应用

1. 要证$f^{(n)}(\xi)=0$
2. 要证$F(\xi,f(\xi),f’(\xi))$

难点

1. 如何找原函数
2. 如何找点

3. 拉格朗日中值定理

设函数$f(x)$ 满足：（1）在闭区间 $[a, b]$ 上连续；（2）在开区间 $(a, b)$ 内可导；
则存在 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f’(\xi)$ 或 $f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a)$ ， $(a< \xi <b )$。
有时也写成 $f(x_{0} + \bigtriangleup x)-f(x_{0}) = f’(x_{0} + \theta \bigtriangleup x) \bullet \bigtriangleup x, (x < \theta < 1)$ ，这里 $x_{0} \in (a,b)$ ， $\bigtriangleup x$ 可正也可负。

注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当$f(a) = f(b)$ 时就是罗尔定理。

证拉格朗日中值定理

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} - f’(x) = 0$$
$$(\frac {f(b)-f(a)}{b-a} \bullet x - f(x))’ = 0$$
$$令F(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \bullet (x-a)-f(x)$$
$$F(a) = -f(a) = F(b) = f(b) - f(a) - f(b) = -f(a)$$
$$又F(x)在[a, b]上连续，在(a, b) 上可导，由罗尔定理知：$$
$$\exists \xi \in (a, b) , 使得F’(\xi) = 0 , 即\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f’(\xi)$$

拉格朗日中值定理的应用

1. 求极限
2. 综合题
3. 证明

• 不等式

• 等式

  • 既能罗尔，又能拉格朗日，拉格朗日更简单
  • “双介值”问题
  • 证明函数恒等式

核心

$$f() - f()$$
$$构造同一个函数在不同点的函数值之差$$

拉格朗日中值定理的推论

• 推论1 ：若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导，且 $f’(x) \equiv 0 $ ，则 $f(x)$ 在 $ (a, b) $ 内为常数。
• 推论2 ：若$f(x)$ ， $g(x)$ 在 $(a, b)$ 内皆可导， 且$f’(x) \equiv g’(x) $，则在 $(a, b)$ 内 $f(x) = g(x) + c$ ，其中 $c$ 为常数。

4. 柯西中值定理

设函数$f(x)$ 和 $g(x)$ 满足： （1）在闭区间$[a, b]$上皆连续；（2）在开区间 $(a, b)$ 内皆可导；且 $g’(x) \not= 0 $ ，则存在 $\xi \in (a, b)$ ，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)},(a < \xi < b)$。

灵魂：两个函数，一个中值

5. 泰勒定理（泰勒公式）

定理1 （佩亚诺余项的$n$阶泰勒公式）

设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处有 $n$ 阶导数，则存在 $x_{0}$ 的一个领域，对于该邻域内的任一 $x$ ，都有

$$f(x) = f(x_{0}) + \frac{f’(x_{0})}{1!}(x-x_{0}) + \frac{f’’(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2} + ... + \frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} + R_{n}(x)(x \to x_{0}) ，$$

其中$R_{n}(x) = o((x-x_{0})^{n})(x \to x_{0})$成为佩亚诺余项。
前面求极限的方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的$n$，所以对常用的初等函数如 $e^{x} , sinx, cosx, ln(1+x)$ 和 $(1+x)^{\alpha}$（ $\alpha$ 为实常数）等的 $n$ 阶泰勒公式都要熟记。

定理2（拉格朗日余项的$n$阶泰勒公式）

设 $f(x)$ 在包含 $x_{0}$ 的区间 $(a, b)$ 内有直到 $n+1$ 阶的导数，则对 $\forall x \in (a, b)$ ， 有

$$f(x) = f(x_{0}) + \frac{f’(x_{0})}{1!}(x-x_{0}) + \frac{f’’(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2} + ... + \frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} + R_{n}(x) ，$$

其中$R_{n}(x) = \frac{f^{n+!}(\xi)}{n+1!}(x-x{0})^{n+1}$ （ $\xi$ 在 $x_{0}$ 与 $x$ 之间）称为拉格朗日余项。带拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式常用于证明题中。

佩亚诺余项和拉格朗日余项的区别：
1.余项形式不同
2.适用的范围不同
3.高阶导，阶数要求不同

注：当 $x_{0} = 0$ 时， $n$ 阶泰勒公式也称为 $n$ 阶麦克劳林公式。
如果 $\lim_{n \to \infty}R_{n}(x) = 0$，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。
需要记住以下五个泰勒展开式：

泰勒展开式

$$ e^{x} = 1+ x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ... + \frac{x^{n}}{n!} + o(x^{n}) ; $$
$$ sinx = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} +... + \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1}) ; $$
$$cosx = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - ... + \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n!} + o(x^{2n}) ; $$
$$ln(1+x) = x- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - ... + \frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n} + o(x^{n}) ; $$
$$ (1+x)^{a} = 1+ ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^{2} + ... + \frac{a(a-1)...(a-n+1)}{n!}x^{n} + o(x^{n}) $$
$$ arctanx = x - \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{5}x^{5} -...+ \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}x^{2n-1} + o(x^{2n-1}) $$

泰勒公式的应用

• 计算（佩亚诺余项）

  • 求极限
  • 求$f^{(n)}(0)$

• 证明（拉格朗日余项）

  • 等式
  • 不等式

与高阶导数有关的证明题

Taylor什么时候用？
除了$ “e^{x} , sinx, coxs, ln(1+x), (1+x)^{\alpha} ” $外，剩下全是幂函数，此时泰勒优于洛必达。

题型一：求极限

须掌握

• 1. 公式
• 1. 方法
  • 分母/分子 的幂次已知，n = 幂指数
  • 分子/分母 的幂次均未知，加加减减后幂次最小的项，n = 幂指数

题型二：求$f^{(n)}(0)$

步骤

1. 将$f(x)$在$x=0$处的泰勒公式写一遍
2. 把题中出现的常用泰勒公式写一遍
3. 让同类项前的系数相同。

同类项：所含字母相同，字母指数也相同的两个单项式。