POI2015 WYC

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Description\mathcal{Description}Description
给定一张n个点m条边的带权有向图，每条边的边权只可能是1，2，3中的一种。将所有可能的路径按路径长度排序，请输出第k小的路径的长度，注意路径不一定是简单路径，即可以重复走同一个点。
(1≤n≤40，1≤m≤1000，1≤k≤1018)(1\leq n\leq 40，1\leq m\leq 1000，1\leq k\leq 10^{18})(1≤n≤40，1≤m≤1000，1≤k≤1018)

Solution\mathcal{Solution}Solution
死毒瘤题，打了一晚上，最后把自己的方法改的和其他人差不多了
边权不为111，不好直接套用邻接矩阵，考虑把一个点拆开，让一条长度大于111的路径要到一些没用的点使得它需要走多次才能走到它该到的点
把一个点nnn拆为n0,n1,n2n_0,n_1,n_2n0,n1,n2，分别表示距离nnn还有0/1/20/1/20/1/2的距离，实际上，n0n_0n0就是原本的点，我们称之为实点，n1,n2n_1,n_2n1,n2则是用来消耗路径长度的点，称之为虚点
先有n2→n1,n1→n0n_2\ \rightarrow\ n_1,n_1\ \rightarrow \ n_0n2 → n1,n1 → n0连边
对一条边(u,v,w)\left(u,v,w\right)(u,v,w)，考虑由实点u0u_0u0走出去一步，那么距离vvv就会减一，所以u0u_0u0向vw−1v_{w-1}vw−1连一条边，即连边(u0,vw−1)\left(u_0,v_{w-1}\right)(u0,vw−1)

现在我们可以对现在的矩阵做乘法和快速幂了，每个实点到实点的权值就是方案数
如现在是这个矩阵的kkk次方，则矩阵上(u0,v0)\left(u_0,v_0\right)(u0,v0)上的权值表示的就是从u0u_0u0出发，走kkk步走到v0v_0v0的方案数

接下来考虑怎么求答案，kkk很大，自然地就想到了倍增，类似求LCALCALCA一样的去确定答案即可

当然，直接对矩阵求ppp次方，那么求出来的矩阵里的值表示的是刚好走ppp步从某个位置走到某个位置的答案
为了方便的进行判断，我们需要把矩阵的值表示成走小于等于ppp步的方案数
所以要考虑把走过的答案存下来，我们可以用000号点表示所有的方案数
怎么用000号点表示呢，考虑每次算出一个值后再算下一个值时将当前的答案放到000号点去
所以对每个点实点u0u_0u0连一条(u0,0)\left(u_0,0\right)(u0,0)的边即可，而每次计算不能把上次的答案丢了，所以还要连一条(0,0)\left(0,0\right)(0,0)的边

这样当前矩阵的000号点就表示着上一次的答案
我们再弄一个矩阵乘上当前矩阵就可以表示，这个矩阵000向所有的实点连一条边即可

Code\mathcal{Code}Code

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年11月06日 星期三 18时58分03秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
#define ll long long
#define ld long double
#define rint register int
using namespace std;
const int maxn = 130;
//{{{cin
struct IO{template<typename T>IO & operator>>(T&res){res=0;bool flag=false;char ch;while((ch=getchar())>'9'||ch<'0')   flag|=ch=='-';while(ch>='0'&&ch<='9')  res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();if (flag) res=~res+1;return *this;}
}cin;
//}}}
int n,lim,m;
ll k,ans;
//{{{Matrix
struct Matrix{ld mat[maxn][maxn];Matrix (bool opt=0){for (int i=0;i<=lim;++i)for (int j=0;j<=lim;++j)    mat[i][j]=opt&&(i==j);}ld* operator [] (const int &x){   return mat[x];}Matrix operator * (Matrix &b){Matrix a=*this,s;for (int i=0;i<=lim;++i)for (int j=0;j<=lim;++j)for (int k=0;k<=lim;++k)s[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];return s;}
}g[maxn],s;
//}}}
inline int loc (int x,int i){   return (x-1)*3+i+1;}
inline ld sum (Matrix &a) { return a[0][0]-n; }
int main()
{freopen("p3597.in","r",stdin);freopen("p3597.out","w",stdout);cin>>n>>m>>k;lim=3*n;for (rint i=1;i<=n;++i){for (rint j=1;j<=2;++j)    g[0][loc(i,j)][loc(i,j-1)]=1;g[0][loc(i,0)][0]=s[0][loc(i,0)]=1;}g[0][0][0]=1;for (rint i=1;i<=m;++i){int u,v,d;cin>>u>>v>>d;++g[0][loc(u,0)][loc(v,d-1)];}int d;for (d=1;;++d){g[d]=g[d-1]*g[d-1];Matrix t=s*g[d];if (sum(t)>=k)   break;if (d>=64)    return printf("-1\n"),0;}for (rint i=d;~i;--i){Matrix t=s*g[i];if (sum(t)<k){s=t;ans+=(1ll<<i);}}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

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