【蓝桥杯】【2017】【包子问题】非常容易理解的欧几里得算法

题目来源：蓝桥杯-2017

题目

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。这家包子铺有N种蒸笼，其中第i种蒸笼恰好能放Ai个包子
每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。
每当有顾客想买X个包子，卖包子的大叔就会选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有X个包子。
比如一共有3种蒸笼，分别能放3、4和5个包子。当顾客想买11个包子时，大叔就会选2笼3个的再加1笼5个的（也可能选出1笼3个的再加2笼4个的）。
当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。
比如一共有3种蒸笼，分别能放4、5和6个包子。而顾客想买7个包子时，大叔就凑不出来了。
小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入
第一行包含一个整数N。(1 <= N <= 100)
以下N行每行包含一个整数A_i。(1 <= A_i <= 100)

输出
输出一行包含一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出INF。

示例

输入：

2
4
5

输出：

6

输入：

2
4
6

输出：

INF

解题思路

本题的难点在于如何判断不能够组成的数字是否有无限个。下面首先进行推导什么情况下是无限个，已经知道原因的读者可以下划到分割线处直接看做题思路。

拿两个示例举例，4和5不能组成的数只有6个：1，2，3，6，7，11。4和6不能组成的数是2和全体奇数。

从4和6两个数入手，我们就能知道什么时候不能组成的数字有无限个了：6和4都是2的倍数，那么几乎所有2的倍数都能用4和6表示，此时所有奇数都无法表示。也就是说如果两个数的最大公因数不是1的情况下，他们能够组成的数字其实都是最大公因数的倍数，例如4和6能组成的数都是2的倍数。那么此时只要取任意一个非2的倍数的数字，用4和6都必然不能表示。

再去反观4和5两个数字，他们的最大公因数是1，那么他们是否就能组成所有的数字了呢？我们发现除掉1、2、3、6、7、11之外，所有的偶数好像都能用4的倍数表示，倘若一个数不能把4整除，那么我们可以留出一部分数让5来处理。拿10举例，10是偶数但是10不能被4整除，2*4=8，3*4=12，他们之间的差值为4，此时我们可以用2*5=10弥补中间的插值2，这样一来可以用a*4+b*5构成几乎所有的偶数。同理，可以用a*5+b*4构成几乎所有的奇数。那么用x*4+y*5就能构成几乎所有的数，此时不能构成的数是有限个。

也就是说，无论给我们什么样的数据，如果他们中的部分数字彼此存在一个不为1的最大公因数，那么这几个数字其实就是这个最大公因数的倍数，中间必定存在无法表示的数字。

综上，如果给我们的数彼此之间的最大公因数是1，也就是这些数字彼此互质，那么不能构成的数字就是有限个，反之就是无限个。

首先我们需要编写一个函数用来判断输入的数据彼此间是否互质。这里我们采用的是欧几里得算法，也就是辗转相除法。

不了解该算法的可以查看示例，了解该算法的运行原理，或者点击链接访问欧几里得算法-百度百科。

假如需要求 1997 和 615 两个正整数的最大公约数,用欧几里得算法，是这样进行的：
1997 / 615 = 3 (余 152)
615 / 152 = 4(余7)
152 / 7 = 21(余5)
7 / 5 = 1 (余2)
5 / 2 = 2 (余1)
2 / 1 = 2 (余0)
至此，最大公约数为1
以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 1997 和 615 的最大公约数 1。

public static int gcd(int a, int b) {return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

编写一个启动函数，将数据预处理

public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int[] input = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++)input[i] = scanner.nextInt();get(input);
}

下面是个人认为非常容易理解的代码，该代码的执行效率非常低（至少运行起来很慢，肉眼可见的慢），在理解之后可以大幅度优化。

本代码解释会利用输入数据2 4 5进行阐述。首先定义一个gcd，用来表示输入的数据彼此是否互质，由于每次计算都会刷新gcd的值，所以只有所有数据彼此之间互质的时候，gcd才会一直为1。 利用gcd可以直接确定是否输出INF。

如果不输出INF，也就是无法表示的个数有限，那么我们就先创建一个list用来存储所有的输入的数据。然后创建一个res，用来存放无法表示的数字。首先利用for循环把所有数据添加到list中，如4，5。然后我们设置一个阈值，遍历这个范围所有的数，检测能否用list中的数据表示。

首先定义一个flag=false，用来表示当前处理的数字i能否用list中的数字组成。如果能组成，那就让flag=true，同时把这个数字添加到list中。处理能否组成的方法是判断数字自减能否组成，例如我们判断数字6时，先判断0和6是否都在list中，然后判断1和5，2和4，3和3。其中只要有一组判断成功，就代表数字可以组成，本题是遍历了这4种情况之后，仍然没有找到处理方案，所以6是不能构成的数，反之，如果能够构成的话，就由flag=true结束循环，同时将值添加到list中，便于后续的计算。循环结束，利用flag=false将6添加到res中。直到遍历完整个循环，由于所有不能构成的数字我们都add到了res中，所以直接输出res的size即可。详细流程请查看代码。

public static void get(int[] input) {//gcd初始值int gcd = input[0];//判断所有输入的数据彼此是否互质for (int i = 0; i < input.length - 1; i++)gcd = gcd(gcd, input[i + 1]);//如果不互质，输出INF，否则进入if (gcd == 1) {//用来存放所有能够组成的数字，后续可以利用//因为 list.contains(4) && list.contains(5) ， 4+5=9//所以 list.add(9)//这种思想迅速的判断能够组成的数List<Integer> list = new ArrayList<>();//用来存放不能组成的数字List<Integer> res = new ArrayList<>();//输入的数据自然都是能够组成的，直接add即可for (int i = 0; i < input.length; i++)list.add(input[i]);//遍历到阈值10000for (int i = 1; i <= 10000; i++) {//标识符boolean flag = false;//flag只有在能够组成时才会改变，而能够组成的话，循环就可以停止了，所以这里添加了!flag的判断for (int j = 0; j <= i / 2 && !flag; j++)//这里我们不考虑特殊值0的问题，实际上例如判断4的时候，虽然没有0，但是4切实存在，所以直接添加了 ||list.contains 条件if ((list.contains(j) && list.contains(i - j)) || list.contains(i)) {//如果list中存在i，就不用再添加i了if (!list.contains(i))list.add(i);//标识符更改，表示循环结束，也表示该数字可以组成flag = true;}//根据flag的值，选择将i添加到res中if (!flag)res.add(i);}//res的大小就是不能组成的数字个数System.out.println(res.size());} elseSystem.out.println("INF");
}

我们发现，之所以使用list，其实就是为了使用他的contains方法，但是这样大量的消耗了时间资源，每一次都要判断是否contains，无疑带来了很大的时间损失，而实际上我们可以写一个bool数组，利用下标当作每一个数字，用下标对应的true/false来确定能否组成。这样一来，list.contains(4)就可以写成bool[4]了。同样的，题目并未让我们给出所有不可组成的值，所以我们只需要定义一个count计数器，每次遇见不能组成的数字就加1就可以了。这样一来代码就可以写成这个样子（改写的部分已附加注释）

public static void get(int[] input) {int gcd = input[0];for (int i = 0; i < input.length - 1; i++)gcd = gcd(gcd, input[i + 1]);//定义计数器，不再创建res对不可组成的数字进行收集int count = 0;if (gcd == 1) {//阈值是10000，为了利用下标，创建到10001，默认均为falseboolean[] isGet = new boolean[10001];//输入的数据能组成，也就是truefor (int i = 0; i < input.length; i++)isGet[input[i]] = true;//前边的代码没有考虑到0，这里考虑到0。既确保了数组每个值都有实际意义，也确保了例如 0和4 isGet[0] = true;for (int i = 1; i <= 10000; i++) {boolean flag = false;for (int j = 0; j <= i / 2 && !flag; j++)//已经考虑过0的情况，所以或条件删除掉，上文也提到了contains可以用数组下标代替if (isGet[j] && isGet[i - j])//让下标对应值改为true的同时，也让flag发生变化isGet[i] = flag = true;if (!flag)count++;}}//输出语句整合成一条，其实也可以不用这么写，根据if语句分开写的可读性更高System.out.println(gcd == 1 ? count : "INF");
}

代码实现

import java.util.Scanner;public class bao_zi_cou_shu {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int[] input = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++)input[i] = scanner.nextInt();get(input);}public static void get(int[] input) {int gcd = input[0];for (int i = 0; i < input.length - 1; i++)gcd = gcd(gcd, input[i + 1]);int count = 0;if (gcd == 1) {boolean[] isGet = new boolean[10001];for (int i = 0; i < input.length; i++)isGet[input[i]] = true;isGet[0] = true;for (int i = 1; i <= 10000; i++) {boolean flag = false;for (int j = 0; j <= i / 2 && !flag; j++)if (isGet[j] && isGet[i - j])isGet[i] = flag = true;if (!flag)count++;}}System.out.println(gcd == 1 ? count : "INF");}public static int gcd(int a, int b) {return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);}
}

本题无执行用时和内存消耗统计