文章目录

一、第一章：行列式(det)
- 1.二阶行列式
- 2.三阶行列式
- 3.n阶行列式
- - 3.1 排列和逆序
  - 3.2 n阶行列式
  - - (主对角线上的)上、下三角和对角行列式
    - (辅对角线上的)上、下三角和对角行列式
  - 3.3 n阶行列式的三种定义
- 4.行列式的7个性质
- 5行列式展开
- - 5.1(代数)余子式
  - 5.2异乘变零定理
  - 5.3克莱姆法则
第二章：矩阵(matrix)
- 1.矩阵定义
- 2.矩阵运算
- - 2.1矩阵加减法
  - 2.2矩阵乘法☆
  - - 矩阵乘法不满足的规律
    - 矩阵乘法满足的规律
  - 2.3矩阵幂运算
  - 2.4特殊矩阵(都是方阵)
- 3.逆矩阵
- - 3.1方阵的行列式
  - 3.2伴随矩阵(只有方阵才有伴随矩阵)
  - 3.3逆矩阵
  - 3.4逆矩阵矩阵方程：

开局宋老师镇楼，期末绝对不挂科。

一、第一章：行列式(det)

1.二阶行列式

二阶行列式的值=主对角线相乘-辅对角线相乘。

2.三阶行列式

三阶行列式行标取标准排列，列标取排列的所有可能。从不同行不同列取出三个元素相乘。符号由列标排列的奇偶性决定。

3.n阶行列式

3.1 排列和逆序

排列定义：由1，2，3，* * * ，n组成的一个有序数组，叫做n级排列。(中间不能缺数)

逆序：逆序指大数排在小数的前面，逆序的总数叫做逆序数，逆序个数为奇数叫做奇排列，逆序个数为偶数叫做偶排列。如N(4213)=3+1=4，为偶排列。

N(1，2,3****n)=0叫做n级标准排列(自然排列)。
例：
N(n，(n-1)***3，2，1)=n-1+n-2+ * * * ，+2+1=n(n-1)/2

数逆序数时：从第一个开始，依次数后面有几个比他小的。

对换：一个排列经过一次对换，奇偶性改变一次。
比如N(5，4，1，2，3)=4+3+0=7，对完为N(5，4，2，1，3)=4+3+1=8

定理：n级排列中，奇排列和偶排列个数相等，各占一半(n!/2)。

3.2 n阶行列式

特例：|a11|=a11，即只有一个数的行列式等于本身，那么|-1|=-1(-1的行列式也是-1)。

(主对角线上的)上、下三角和对角行列式

(主对角线上的)上、下三角和对角行列式=主对角线元素相乘。

下面三种行列式都=主对角线元素相乘。

(辅对角线上的)上、下三角和对角行列式

(辅对角线上的)上、下三角和对角行列式=[(-1)n(n-1)/2 ] 主对角线元素相乘。

3.3 n阶行列式的三种定义

按行定义

行标取自然排列。
列标取排列的所有可能。
不同行不同列取出不同个元素相乘。
符号由列标排列的逆序数的奇偶性决定。

按列定义

列标取自然排列。
行标取排列的所有可能。
不同行不同列取出不同个元素相乘。
符号由行标排列的逆序数的奇偶性决定。

第三种定义
打乱顺序，从不同行不同列取出不同个元素相乘。

符号由列标和行标的逆序数相加决定。

4.行列式的7个性质

性质1：D^T^=D 行列式的值和它转置后的值相等。

转置：将原来的行变成列，

性质2:两行互换,行列式值变号。

性质3：行列式两行(列)相等，D=0。(性质2—>性质3)

性质4:某一行都乘以k,等于用k乘以D.
推论(常用):行列式某一行有公因子,可以提到符号的外面.

行列式所有元素均有公因子k，k外提n次。

性质5： (1)两行对应成比例，D=0
推论:
(2)某一行全为0,D=0
(3)两行相等,D=0

注意:由D=0并不能推出上述3个式子有一个成立。

性质6:行列式的某一行所有元素都是两项和,则该行列式可以表示为两个行列式相加。
是和的那一行分开,其余行保持不变.

☆性质7: 某一行(列)k加到另一行上去,值不变.(k可以为0)

解题时：先处理第一列，再处理第二列，再第三列。第一列处理完后，第一行不再参与后续运算，第二行处理完后，第二行不再参与后续运算。
一般都是最终化为上三角。用第一列第一个数消该列下面的数，用第二列第二个数消该列下面的数，用第三列第三个数消下面的数。

5行列式展开

5.1(代数)余子式

上图中的指数1+4表示3是第一行第四列。

按某行(列)展开定理：行列式=任意一行中各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

一般选0多的行展开，展开后有降阶的效果：

5.2异乘变零定理

异乘变零定理：某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和=0。

5.3克莱姆法则

使用范围：

克莱姆法则仅适用于方程个数=未知量个数的情况。
系数行列式D != 0

例：

第二章：矩阵(matrix)

解方程组时，根据实际需要，提出了行列式的计算规则。为什么要提出矩阵的概念呢？很多东西都可以用矩阵来表示

例：航班信息

1.矩阵定义

矩阵是由一些数，按行按列组成的数表。假设有m行n列，就称为m*n的矩阵。

比较	行列式	矩阵
本质	一个数	数表
符号	`\| \|`	`（）`
形状	正方形	矩形

行矩阵：(1，1，1)
列矩阵：自行脑补。
实矩阵：所有数字都是实数。
复矩阵：所有数字都是复数。
零矩阵：所有元素都是0的矩阵。(两个零矩阵不一定相等)
负矩阵：所有元素都是负数。
单位阵E：主对角线都是1，其他元素均为0。(如E3代表三阶单位阵)
同型矩阵:行数和列数相等。(矩阵相等的前提是同型矩阵)

2.矩阵运算

2.1矩阵加减法

加法前提：只有同型矩阵才能相加。

减法前提：只有同型矩阵才能减。

2.2矩阵乘法☆

数乘
用一个数去乘一个矩阵=这个数乘矩阵的所有元素。

提公因子

行列式：一行提一次，若所有元素都有公因子，向外提n次。
矩阵：矩阵所有元素均有公因子，向外提一次。

☆矩阵相乘的前提：第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数。
☆结果矩阵的行数：第一个矩阵的行数。
☆结果矩阵的列数：第二个矩阵的列数。

概括为：中间相等取两头。

例：矩阵乘法计算

结果矩阵分别对象下表：

矩阵A的第一行*矩阵B的第一列	矩阵A的第一行*矩阵B的第二列	矩阵A的第一行*矩阵B的第三列
矩阵A的第二行*矩阵B的第一列	矩阵A的第二行*矩阵B的第二列	矩阵A的第二行*矩阵B的第三列

矩阵乘法不满足的规律

(1)AB有有意义，BA不一定有意义。

(2)由AB=0，不能推出A=0或B=0
(3)由AB=AC，A!=0，不能推出B=C。

矩阵乘法满足的规律

零矩阵0与任何矩阵A相乘=0。
单位阵E与任何矩阵A相乘=A。
乘法结合律：(AB)C = A(BC)
乘法分配律：(A + B)C =AC + AB
k(AB)=(kA)B=A(kB)
上面的运算规律中：AB的左右顺序永远不能变。

例:求和矩阵A可交换的所有矩阵(可交换必为同阶矩阵)

例：方程与矩阵的线性替换

2.3矩阵幂运算

幂运算的前提是方阵。

幂运算
同底数幂相乘：底数不变，指数相互加。
A的0次幂=单位阵E
一般情况下

仅当A=B时相等。
一般情况下
下面的式子是成立的

2.4特殊矩阵(都是方阵)

(1)数量矩阵：主对角线元素相同，其余元素均为0。(a可以为0)
[ a a ⋱ a ] \left[ \begin{matrix} a & & & \\ & a & & \\ & & \ddots & \\ & & & a \\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡aa⋱a⎦⎥⎥⎤
上面的数量矩阵 = aE

一个数与数量矩阵相乘，或者数量矩阵之间相加、相减结果都为数量矩阵。
对于数量矩阵aE和任意可乘矩阵B有：(aE)B = B(aE) = aB

(2)对角形矩阵：主对角线元素可以不相同，其余元素均为0。
[ a 1 a 2 ⋱ a n ] \left[ \begin{matrix} a_1 & & & \\ & a_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_n \\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡a1a2⋱an⎦⎥⎥⎤
对角形矩阵还可以记作： d i a g ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) diag(a_1,a_2,...,a_n) diag(a1,a2,...,an)

显然，数量矩阵是一种特殊的对角形矩阵。

对角形矩阵之间相加、相减、相乘，仍然是对角形矩阵。其和、差、积是其主对角线对应元素相加、相减、相乘所得到的对角形矩阵。
矩阵与对角形矩阵相乘：左乘相当于用k乘以行，右乘相当于用k乘以列。
对角形矩阵既是上三角又是下三角，数和上(下)三角的乘积，以及上(下)三角的和、差、积均是上(下)三角。

(3)对称矩阵：以主对角线为轴，上下对应相等。(主对角线的值没有要求)
[ 1 1 − 1 1 2 4 − 1 4 3 ] 有 : a i j = a j i ，但不常用。常用的是 A T = A \left[ \begin{matrix} 1& 1 & -1\\ 1& 2 & 4\\ -1& 4 & 3\\ \end{matrix} \right] 有:a_ij=a_ji，但不常用。常用的是A^T=A ⎣⎡11−1124−143⎦⎤有:aij=aji，但不常用。常用的是AT=A

两个同阶对称矩阵的和、差、数乘、仍然是对称的，但乘积一般不是对称的。
① ( A + B ) T = A T + B T = A + B ② ( A − B ) T = A T − B T = A − B ③ ( k A ) T = k A T = k A ④ ( A B ) T = B T A T = B A ≠ A B \begin{aligned} ①(A+B)^T = A^T+B^T = A+B\\ ②(A-B)^T = A^T-B^T = A-B\\ ③(kA)^T = kA^T = kA \\ ④(AB)^T = B^TA^T = BA≠AB \end{aligned} ①(A+B)T=AT+BT=A+B②(A−B)T=AT−BT=A−B③(kA)T=kAT=kA④(AB)T=BTAT=BA=AB
如果AB是两个同阶的对称矩阵，AB对称<=>AB可交换。

( A B ) T = B T A T = B A = A B (AB)^T = B^TA^T = BA = AB (AB)T=BTAT=BA=AB

A A T 与 A T A 都是对称的 AA^T与A^TA都是对称的 AAT与ATA都是对称的
① ( A A T ) T = ( A T ) T A T = A A T ② ( A T A ) T = A T ( A T ) T = A T A 例 : ( B T A B ) T = B T A T ( B T ) T = B T A B ①(AA^T)^T = (A^T)^TA^T =AA^T\\ ②(A^TA)^T =A^T (A^T)^T =A^TA\\ 例:(B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TAB ①(AAT)T=(AT)TAT=AAT②(ATA)T=AT(AT)T=ATA例:(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB

(4)反对称矩阵：以主对角线为轴，上下对应成相反数。(主对角线的值全为0)
[ 0 1 − 3 − 1 0 − 4 3 4 0 ] 有 : a i j = − a j i ，但不常用。常用的是 A T = − A \left[ \begin{matrix} 0& 1 & -3\\ -1& 0 & -4\\ 3& 4 & 0\\ \end{matrix} \right] 有:a_ij=-a_ji，但不常用。常用的是A^T=-A ⎣⎡0−13104−3−40⎦⎤有:aij=−aji，但不常用。常用的是AT=−A

两个同阶反对称矩阵的和、差、数乘、仍然是反对称的，但乘积一般不是反对称的。

3.逆矩阵

3.1方阵的行列式

A = [ 2 2 2 3 3 3 1 1 1 ] , ∣ A ∣ = ∣ 2 2 2 3 3 3 1 1 1 ∣ A=\left[ \begin{matrix} 2& 2 & 2\\ 3& 3& 3\\ 1& 1 & 1\\ \end{matrix} \right] ,|A|=\left| \begin{matrix} 2& 2 & 2\\ 3& 3& 3\\ 1& 1 & 1\\ \end{matrix} \right| A=⎣⎡231231231⎦⎤,∣A∣=∣∣∣∣∣∣231231231∣∣∣∣∣∣

方阵的本质是数表，行列式的本质是一个数值。
方阵的行列式只是方阵的一个属性。
性质1： ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T|=|A| ∣AT∣=∣A∣ (行列式转置值不变)
性质2： ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ |kA|=k^n|A| ∣kA∣=kn∣A∣ (先数乘，再求行列式，k要向外提n次)☆☆☆
A = [ 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ] , ∣ k A ∣ = ∣ k k k 2 k 2 k 2 k 3 k 3 k 3 k ∣ = k 3 ∣ A ∣ A=\left[ \begin{matrix} 1& 1 & 1\\ 2& 2& 2\\ 3& 3 & 3\\ \end{matrix} \right] ,|kA|=\left| \begin{matrix} k& k & k\\ 2k& 2k& 2k\\ 3k& 3k & 3k\\ \end{matrix} \right| =k^3|A| A=⎣⎡123123123⎦⎤,∣kA∣=∣∣∣∣∣∣k2k3kk2k3kk2k3k∣∣∣∣∣∣=k3∣A∣
性质3： ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∗ ∣ B ∣ |AB|=|A|*|B| ∣AB∣=∣A∣∗∣B∣(行列式的乘法定理)

例题:
已知 A 为 5 阶行列式， ∣ A ∣ = 3 。求 ∣ − A ∣ 、 ∣ 2 A T ∣ 、 ∣ ∣ A ∣ A ∣ 已知A为5阶行列式，|A|=3。求|-A|、|2A^T|、||A|A| 已知A为5阶行列式，∣A∣=3。求∣−A∣、∣2AT∣、∣∣A∣A∣
① ∣ − A ∣ = ( − 1 ) 5 ∣ A ∣ = − 3 ①|-A|=(-1)^5|A|=-3 ①∣−A∣=(−1)5∣A∣=−3
② ∣ 2 A T = 2 5 ∣ A T ∣ = 2 5 ∗ 3 ②|2A^T=2^5|A^T|=2^5*3 ②∣2AT=25∣AT∣=25∗3
③ ∣ ∣ A ∣ A ∣ = ∣ 3 A ∣ = 3 5 ∣ A ∣ = 3 6 ③||A|A|=|3A| = 3^5|A|=3^6 ③∣∣A∣A∣=∣3A∣=35∣A∣=36

3.2伴随矩阵(只有方阵才有伴随矩阵)

A = [ 1 1 1 2 1 3 1 1 4 ] A=\left[ \begin{matrix} 1& 1 & 1\\ 2& 1& 3\\ 1& 1 & 4\\ \end{matrix} \right] A=⎣⎡121111134⎦⎤
求出所有元素的代数余子式后，按列放置
A₁₁ = 1，A₁₂ = -5，A₁₃ = 1，
A₂₁ = -3，A₂₂ = 3，A₂₃ = 0，
A₃₁ = 2，A₃₂ = -1，A₃₃ = -1，
得出的伴随矩阵为 A ∗ = [ 1 − 3 2 − 5 3 − 1 1 0 − 1 ] 得出的伴随矩阵为A^*=\left[ \begin{matrix} 1&-3 & 2\\ -5& 3& -1\\ 1& 0 & -1\\ \end{matrix} \right] 得出的伴随矩阵为A∗=⎣⎡1−51−3302−1−1⎦⎤

伴随矩阵求法：先求出所有元素的代数余子式，再按行求按列放。
A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E AA^*=A^*A=|A|E AA∗=A∗A=∣A∣E
A A ∗ = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] ∗ [ A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ] = [ ∣ A ∣ 0 ⋯ 0 0 ∣ A ∣ ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ ∣ A ∣ ] = ∣ A ∣ E AA^*=\left[ \begin{matrix} a_ {11} & a_ {12} & \cdots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \cdots & a_ {2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ {n1} & a_{ n2} & \cdots & a_ {nn} \\ \end{matrix} \right] *\left[ \begin{matrix} A_ {11} & A_ {21} & \cdots & A_ {n1} \\ A_ {12} & A_ {22} & \cdots & A_ {n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_ {1n} & A_{ 2n} & \cdots & A_ {nn} \\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} |A| & 0 & \cdots &0 \\ 0 & |A| & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & |A| \\ \end{matrix} \right] =|A|E AA∗=⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann⎦⎥⎥⎥⎤∗⎣⎢⎢⎢⎡A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋱⋯An1An2⋮Ann⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡∣A∣0⋮00∣A∣⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮∣A∣⎦⎥⎥⎥⎤=∣A∣E
∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |A^*|=|A|^{n-1} ∣A∗∣=∣A∣n−1
∣ A A ∗ ∣ = ∣ ∣ A ∣ E ∣ ， ∣ A ∣ ∗ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n , ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |AA^*|=||A|E|，|A|*|A^*|=|A|^n,|A^*|=|A|^{n-1} ∣AA∗∣=∣∣A∣E∣，∣A∣∗∣A∗∣=∣A∣n,∣A∗∣=∣A∣n−1

3.3逆矩阵

定义：设 A 为 n 阶方阵，存在 n 阶方阵 B ，使得 A B = B A = E ，则称 B 为 A 的逆矩阵，记作 A − 1 = B 定义：设A为n阶方阵，存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称B为A的逆矩阵，记作A^{-1}=B 定义：设A为n阶方阵，存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称B为A的逆矩阵，记作A−1=B

未必所有方阵均可逆。(0B=B0=0≠E)
如果一个方阵可逆，逆矩阵唯一。

如何判断一个方阵可逆？

若方阵 A 满足 ∣ A ∣ ≠ 0 ，则该方阵 A 称作：非奇异、非退化、满秩。若方阵A满足|A|≠0，则该方阵A称作：非奇异、非退化、满秩。若方阵A满足∣A∣=0，则该方阵A称作：非奇异、非退化、满秩。
方阵 A 可逆的充要条件是 ∣ A ∣ ≠ 0 ， A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ 方阵A可逆的充要条件是|A|≠0，A^{-1}={{1} \over {|A|}}A^* 方阵A可逆的充要条件是∣A∣=0，A−1=∣A∣1A∗ ☆☆☆
推论：如果 A B 都是 n 阶方阵，如果 A B = E ( 或 B A = E ），则 A 可逆，且 A − 1 = B 。推论：如果AB都是n阶方阵，如果AB=E(或BA=E），则A可逆，且A^{-1}=B。推论：如果AB都是n阶方阵，如果AB=E(或BA=E），则A可逆，且A−1=B。

求逆矩阵的方法?
(1)伴随矩阵法:

∣ A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ ∣ 由于计算量太大，所以实际计算中不使用伴随矩阵法。 |A^{-1}={{1} \over {|A|}}A^*|由于计算量太大，所以实际计算中不使用伴随矩阵法。 ∣A−1=∣A∣1A∗∣由于计算量太大，所以实际计算中不使用伴随矩阵法。

(2)初等变换法√
待更。。。

3.4逆矩阵矩阵方程：

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