最小费用流bellman-ford算法总结

最小费用流问题是寻找流为F时的最小费用，普通的最大流中边只有流量限制，而在费用流中还加上了费用，为保证过程可逆和正确性残余网络中的负权边是原边费用的相反数，求解此类问题的方法依然是贪心，我们在残余网络上总是沿着最短路增广，这样可以保证在当前流量下，取得最小的费用（权值为费用），一直贪心下去，直到F减为0，这里有一个问题，F能否减到0呢，答案是肯定的，考虑最大流算法，我们总是能从0扩展到任意流（流不大于最大流），相应地，我们总是能从F沿着原路退到0。

以下是最小费用流的实现，因为残余网络中存在负权边，所以使用bellman-ford算法求解最短路。

#include <vector>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <climits>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAX_V = 1005;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct Edge{int to,cap,cost,rev;Edge(int t,int c,int co,int r):to(t),cap(c),cost(co),rev(r) {}
};
vector<Edge> G[MAX_V];
int V;
int prevv[MAX_V],preve[MAX_V];
int dist[MAX_V];void add_edge(int from,int to,int cap,int cost){G[from].push_back( Edge(to,cap,cost,G[to].size()) );G[to].push_back( Edge(from,0,-cost,G[from].size()-1) );
}int min_cost_flow(int s,int t,int f){int res = 0;while(f>0){fill(dist,dist+V,INF);dist[s] = 0;bool update = true;while(update){for(int v=0; v<V; v++){if(dist[v] == INF) continue;for(int i=0; i<G[v].size(); i++){Edge &e = G[v][i];if(e.cap>0 && dist[e.to] > dist[v] + e.cost){dist[e.to] = dist[v] + e.cost;prevv[e.to] = v;preve[e.to] = i;update = true;}}}}if(dist[t] == INF){return -1;}int d = f;for(int v = t; v != s; v = prevv[v]){d = min( d , G[prevv[v]][preve[v]].cap);}f -= d;res += d * dist[t];for(int v = t; v != s; v = prevv[v]){Edge &e = G[prevv[v]][preve[v]];e.cap -= d;G[v][e.rev].cap += d;}}return res;
}int main()
{return 0;
}

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