幻方构造方法及C语言实现

所谓幻方，就是在一个nXn的正方形中，分别填上1到n*n的数字，使得每行每列以及对角线上的数字之和相等。比如，小学学过的九宫格就属于3阶幻方。幻方最早起源于中国。

对于幻方的求解，首先我们按照其阶数n（即一个边上有多少个格子）将其分为奇阶幻方和偶阶幻方，然后偶阶幻方又分为单偶幻方和双偶幻方。

奇阶幻方解法

奇阶幻方最简单的解法就是“罗伯法”，又称“楼梯法”。

具体步骤为：首先在第一行正中间的格子填1，然后就像走楼梯一样将2、3…n的数字依次填入右上角。这时可能会出现一个情况，就是超出了幻方的格子范围，当我们一直往右上角填的时候，如果是行超出了就行数加n，如果是列数超出了就列数减n，以保证数字始终在范围内。当填完1到n之后，开始填n+1到2*n。首先将n+1填到n的下面一格，然后再按走楼梯的方式填入n+2到2*n。如果中途出现超出范围的情况，同样按之前的方法处理。然后开始填2*n+1到3*n，首先将2*n+1填到2*n的下面一格，之后的都按之前的规律类推。

具体我们看下面的这个5阶幻方的例子：

首先，将第一行正中间填入1，然后2填在1的右上角。这时会发现，此时1的右上角超出格子了，我们可以将每列和每行看作一个环状。比如，第四列是一个连通的环，第四列第一个格子在向上走一格就到了第四列的最后一个格子，此时，这里填入2。然后2的右上角填入3，然后3的右上角填入4（同样的道理可将第三行看作环，那么4就填入了第三行的第一个格子），4的右上角填入5。这样就填完了前n个数，接下来我们填接下来的n个数，6直接填在5的下面一格，然后7填在6的右上角，8填在7的右上角，9填在8的右上角，10填在9的右上角。然后接下来的n个数也是如此，将11填在10的正下面，12填在11的右上角，剩下的依此类推。

双偶幻方解法

所谓双偶幻方即阶数n为4的倍数的幻方，这里用到的方法叫做“对称交换法”。

首先将1到n*n的数字，按行优先的顺序依次填满整个矩阵。

接下来将整个幻方完全划分成整数个4x4的大格子，然后如图

在每个4x4的大格子中都作这样的一个下标。最后，对于整个幻方（注意是整个）所有带有‘*’星号下标的数字进行一个统一的中心对称变换。

具体的例子我们看一个8阶幻方：

首先依次填入1到64，然后划分成一个个的4x4的大格子（这里我们用4种不同的颜色标出）。

然后我们标记相应的‘*’

最后对整体进行一个中心对称变换（简单地说，该格与中心的连线旋转180度）

结果为

单偶幻方解法

所谓单偶幻方就是阶数n为偶数但又不能被4整除的幻方，这里用到的方法叫做“象限对称交换法”。

首先将整个幻方分为四个象限

将1到n*n的数字也分成四组：1到n*n/4，n*n/4+1到n*n/2，n*n /2+1到3*n*n /4，3*n*n /4+1到n*n。

将这四组数分别按“罗伯法”填入到A、B、C、D四个象限中。

计算得到m=(n-2)/4。

将A象限正中的m格（即从A的最中间的格子开始从正中向右数m格）与D中相应部分（即对应的正中间的m格）平移互换。

然后A中另一部分（即不包括正中行的其他行，并且只换正中列以左的）也与D中相应部分（即对应处）平移互换。

C区中间m-1列（从中间列开始向右数共m-1列）与B中相应部分平移互换。

这里我们以10阶幻方为例：

首先我们按“罗伯法”填好A、B、C、D四个象限（注意分组填），如图。

然后A与D交换相应部分，C与B交换相应部分，这里用红色标出。

交换后为：

#include<stdio.h>
#define N 8      //阶数
int main()
{int x,y,a[N][N]={0},i=0,j,n,m;void change(int *a,int *b);if(N%2==1)          //奇阶幻方{for(j=0;j<N;j++){if(j==0&&i==0){x=0;y=N/2;a[x][y]=1;}else{a[x+1][y]=a[x][y]+1;x=x+1;}for(i=1;i<N;i++){x=x-1;y=y+1;if(y>N-1){y=y-N;}if(x<0){x=x+N;}a[x][y]=i+1+N*j;}}}else{if(N%4==0)                                //双偶幻方{for(i=0;i<N;i++)for(j=0;j<N;j++)a[i][j]=i*N+j+1;for(i=0;i<N/2;i++)for(j=0;j<N;j++){for(x=0,n=0;n<=N/4-1;n++){if(((i!=j+n*4)&&(i!=j-n*4))&&((i+j+n*4!=N-1)&&(i+j-n*4!=N-1)))x++;}if(x==N/4)change(&a[i][j],&a[N-i-1][N-j-1]);}}else                                   //单偶幻方{m=(N-2)/4;for(j=0;j<N/2;j++)               //A区{if(j==0&&i==0){x=0;y=N/4;a[x][y]=1;}else{a[x+1][y]=a[x][y]+1;x=x+1;}for(i=1;i<N/2;i++){x=x-1;y=y+1;if(y>N/2-1){y=y-N/2;}if(x<0){x=x+N/2;}a[x][y]=i+1+(N/2)*j;}}j=N/2,i=N/2;                    //B区for(j=N/2;j<N;j++){if(j==N/2&&i==N/2){x=N/2;y=3*N/4;a[x][y]=N*N/4+1;}else{a[x+1][y]=a[x][y]+1;x=x+1;}for(i=N/2+1;i<N;i++){x=x-1;y=y+1;if(y>N-1){y=y-N/2;}if(x<N/2){x=x+N/2;}a[x][y]=i-N/2+N*N/4+1+(N/2)*(j-N/2);}}j=0,i=N/2;for(j=0;j<N/2;j++)                //C区{if(j==0&&i==N/2){x=0;y=N*3/4;a[x][y]=2*N*N/4+1;}else{a[x+1][y]=a[x][y]+1;x=x+1;}for(i=N/2+1;i<N;i++){x=x-1;y=y+1;if(y>N-1){y=y-N/2;}if(x<0){x=x+N/2;}a[x][y]=i-N/2+2*N*N/4+1+(N/2)*j;}}j=N/2,i=0;for(j=N/2;j<N;j++)             //D区{if(j==N/2&&i==0){x=N/2;y=N/4;a[x][y]=3*N*N/4+1;}else{a[x+1][y]=a[x][y]+1;x=x+1;}for(i=1;i<N/2;i++){x=x-1;y=y+1;if(y>N/2-1){y=y-N/2;}if(x<N/2){x=x+N/2;}a[x][y]=i+3*N*N/4+1+(N/2)*(j-N/2);}}for(m=0;m<(N-2)/4;m++)change(&a[N/4][N/4+m],&a[N/4+N/2][N/4+m]);for(j=0;j<N/2;j++){if(j==N/4)continue;for(i=0;i<N/4;i++)change(&a[j][i],&a[j+N/2][i]);}for(m=0;m<(N-2)/4-1;m++){for(j=0;j<N/2;j++)change(&a[j][3*N/4+m],&a[j+N/2][3*N/4+m]);}}
}for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<N;j++)printf("%5d",a[i][j]);printf("\n");}return 0;
}
void change(int *a,int *b)
{int t;t=*a;*a=*b;*b=t;
}

（PS:直接扒的大一时候写的代码，有些地方编程可能不合理'(*>﹏<*)′）

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