基于Julia语言的蒙特卡洛方法求圆周率 π \pi π

原理： ( x , y ) (x,y) (x,y)是平面上的一点，其中 x , y x, y x,y 服从均匀分布 U ( − 1 , 1 ) U(-1,1) U(−1,1)，假设得到2000个样本点，如下图所示

圆的面积 S 1 = π r 2 = π S_{1}=\pi r^2=\pi S1=πr2=π，正方形的面积 S 2 = ( 2 r ) 2 = 4 r 2 = 4 S_{2}=(2r)^2=4r^2=4 S2=(2r)2=4r2=4。若落在圆内的点为 N 1 N_{1} N1个，落在正方形内的样本点数是 N 2 N_{2} N2个， N 2 N_{2} N2 也是所有的样本点数。因此可以得到下面的近似关系
S 2 S 1 = 4 π ≈ N 2 N 1 \frac{S_{2}}{S_{1}}=\frac{4}{\pi} \approx \frac{N_{2}}{N_{1}} S1S2=π4≈N1N2
即 S 1 = π ≈ 4 N 1 N 2 S_{1}=\pi \approx \frac{4N_{1}}{N_{2}} S1=π≈N24N1。

用Julia语言实现的代码如下所示：

#导入包
using Plots
using Distributions
#用蒙特卡洛方法求pi值
sample_num = 2000;
dist = Uniform(-1,1);sample_x = rand(dist,sample_num);
sample_y = rand(dist,sample_num);count = 0;
plot()for k in range(1,sample_num,step=1)if (sample_x[k]^2+sample_y[k]^2)<=1#落入圆内的点count = count + 1plot!([sample_x[k]],[sample_y[k]],shape=:circle,markersize=2,markercolor=:black,mscolour=:black)else#落入圆外的点plot!([sample_x[k]],[sample_y[k]],shape=:circle,markersize=2,markercolor=:green,mscolour=:green)end
endprint("sample_num = ",sample_num,"\n","count = ",count,"\n","pi=",count/sample_num * 4.0)#画出圆心为（x0,y0）,半径为r的圆
x0 = 0
y0 = 0
r = 1tmin = 0
tmax = 2pitvec = range(tmin,tmax,length=100)x = r.*sin.(tvec).+ x0
y = r.*cos.(tvec).+ y0plot!(x,y,aspect_ratio = 1,linecolor=:red,legend=false)# 画圆心
plot!([x0],[y0],shape=:circle,markercolor=:black,mscolour=:black)#画出矩形 (x_left_up,y_left_up)、(x_right_up,y_right_up)、
#       (x_right_down,y_right_down)、(x_left_down,y_left_down)x_left_up = -1; x_right_up = 1; x_right_down = 1; x_left_down = -1;
y_left_up = 1; y_right_up = 1; y_right_down = -1; y_left_down = -1;rectangle_x = [x_left_up, x_right_up, x_right_down, x_left_down, x_left_up]
rectangle_y = [y_left_up, y_right_up, y_right_down, y_left_down, y_left_up]
plot!(rectangle_x,rectangle_y,linecolor=:blue,legend=false,linewidth=2)#保存图片
savefig("montecarluo")

仿真结果：

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