一、向量正交

二、向量线性无关

三、二者关系

1. 两个向量

2. 正交向量组

3. 一个向量与一个向量组正交

四、小结

一、向量正交

1. 定义

两向量正交，那么内积 (α，β)=0，或者写作点乘 α • β=0。

2. 表述

向量是一种有序数组，如a=(a1，a2，a3，……)，本身是表示方向的。内积或者说点乘，就是两向量坐标对应位置的乘积的和。

《向量正交是什么意思》：https://zhidao.baidu.com/question/1608819442654220827.html?qbl=relate_question_0

《向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及几何意义》：https://www.cnblogs.com/gxcdream/p/7597865.html

但是，在矩阵需要分块时，常引入向量，分为列向量或行向量。

行向量乘列向量才是内积，列向量乘行向量是矩阵。行向量不可乘行向量，列向量也不可乘列向量。

因此在表述时，有如下几种情况。由于矩阵常常按照列分块或按行分块，一般出现同类型向量较多，也即后两种。

行向量α与列向量β正交，则 $%u03B1^T%u03B2=0$ $\alpha\beta =0$ 。
行向量α与行向量β正交，则 $%u03B1^T%u03B2=0$ $\alpha\beta^{T} =0$ 。
列向量α与列向量β正交，则 $%u03B1^T%u03B2=0$ $\alpha ^{T}\beta =0$ 。

二、向量线性无关

两个向量线性无关，即一个不可被另一个线性表示，即不平行。

一个向量与一个向量组线性无关，即不可被其线性表示，不

三、二者关系

1. 两个向量

证明过程：《线性代数：正交的向量一定线性无关吗？》：https://zhidao.baidu.com/question/1818343757400219548.html

结论：两个向量正交，那么一定线性无关。两个向量线性无关，不一定就是正交。

理解记忆：正交是指，两个向量的夹角为90°。（无所谓行向量、列向量，这里是一种n维空间的坐标关系）

线性无关是指，两个向量不平行（或者重合），就是夹角不为0°或180°。

2. 正交向量组

两两正交的非零向量组是正交向量组，其组内向量一定线性无关。反之未必，即线性无关未必正交。

《向量组的正交性》：https://wenku.baidu.com/view/859595d084254b35eefd3498.html

证明如这篇文章。最后的例题也可看出，一个向量与一个向量组正交，实际是它与组内向量分别两两正交。正交的定义是发生在两个向量间的。

3. 一个向量与一个向量组正交

一个向量与一个向量组正交，是它与组内向量分别两两正交。

《向量组和向量正交是什么意思？》：https://zhidao.baidu.com/question/1389218406721751020.html

显然是提问者（1）中的意思。不要看解答，答非所问。

《向量组a1....an和一个向量β正交，是什么意思？》：https://zhidao.baidu.com/question/332952536677157125.html?qbl=relate_question_0

这个解答清楚。

《证明：如果向量b与向量组a1,a2,...,as中的每个向量都正交，则b与a1，a2，...，as的任意线性组合k1a1+k2a2+...+ksas也正交》：https://zhidao.baidu.com/question/1179635885024901859.html?qbl=relate_question_5

一个相关的小证明题，帮助理解。

四、小结

1. 向量正交即垂直，发生在两个向量间。正交向量的坐标内积为0，注意区分表述形式。

行向量α与行向量β正交，则 $%u03B1^T%u03B2=0$ $\alpha\beta^{T} =0$ 。
列向量α与列向量β正交，则 $%u03B1^T%u03B2=0$ $\alpha ^{T}\beta =0$ 。

2. 向量线性无关，即不可被线性表示，两向量不共线，也有向量与一个向量组线性无关（即不在向量组表示的空间内）。

3. 两个向量正交，那么一定线性无关。两个向量线性无关，不一定就是正交。

4. 两两正交的非零向量组是正交向量组，其组内向量一定线性无关。反之未必，即线性无关未必正交。

5. 一个向量与一个向量组正交，是它与组内向量分别两两正交。

强烈推荐一本书！《线性代数的几何意义》任广千（豆瓣主页）。

从几何意义去理解线性代数非常重要，可以把各种概念串联起来。

还在读，等读完应该要写一些读书笔记。

【线代】行/列分块矩阵中向量正交有什么用？如何表述？向量正交和线性无关有什么关系？相关推荐

c语言学习-在一个三行三列的矩阵中求出数值最大的元素及其行／列下标并打印输出
在一个三行三列的矩阵中求出数值最大的元素及其行/列下标并打印输出程序流程图: 代码: #include<stdio.h> void main() {int a[3][3]; int i= ...
线代基础第二讲——矩阵
基础知识结构求矩阵的逆: 1.定义 2.用伴随矩阵求逆矩阵 3.用初等变换求逆矩阵这就是读者对矩阵的初步认识--表达系统信息(systematical information) 再看一个矩阵: 重 ...
【线代】线性方程组：非齐次/齐次方解的个数、系数矩阵的秩、未知数个数的关系？为什么 Ax=0 比 Ax=b 少1个线性无关的解？
目录一.起因二.概念理解 1. Ax=0 基础解系 2. Ax=b 线性无关解的个数 3. 为什么 Ax=0 比 Ax=b 少1个线性无关的解? 三.解题四.小结一.起因上一篇文章主要讲了线 ...
matlab中的isreal函数,matlab线代 isreal函数检测矩阵的复数元素
1 code clear clc a=[1+1i 0 3;2+2i 11 22] sizeOfA=size(a) %a矩阵有多少行 countOfRow=sizeOfA(1) %a矩阵有多少列 cou ...
MathType 分块矩阵中的分隔线、增广矩阵怎么画
maththyp的文档重点: 步骤三插入矩阵分隔线后,再次单击可在实线.虚线.密虚线.无分割线之间切换,
线代：1.6矩阵的特征值和特征向量
文章目录任务详解: 1.向量的内积和范数向量的内积以及正交性定义1: 定义2 定义3 定义4 判定矩阵A可逆的小结 2.特征值特征向量以及矩阵的相似方阵的特征值与特征向量定义6 本课程来自 ...
线代 | 【行列式及矩阵】基本知识
第一章行列式一.行列式的定义第一种定义(向量) 我们看到了一个极其直观有趣的结论:2阶行列式是由两个2维向量组成的,其(运算规则的)结果为以这两个向量为邻边的平行四边形的面积.这不仅得出了2阶行 ...
线代笔记：一个排列中的任意两个元素对换，该排列的奇偶性发生改变
已证:排列进行相邻对换时,该排列的奇偶性发生改变设一个有 nnn 个数的排列为 a1,a2,a3-an−1,ana_{1},a_{2},a_{3}-a_{n-1},a_{n}a1,a2,a3- ...
线代 | 【行列式及矩阵】经典例题及方法总结
第一章行列式一.具体型行列式的计算 1.化基本形法爪形异爪形
线代第五章特征值和特征向量复习笔记
Aα=λα n阶矩阵A×特征向量= 特征值×特征向量 A:n阶矩阵 α:一个n维列向量--矩阵A属于特征值λ的特征向量(特征向量α是非零向量) λ:一个数--矩阵A的特征值由Aα=λα移项得 ...

【线代】行/列分块矩阵中向量正交有什么用？如何表述？向量正交和线性无关有什么关系？

一、向量正交

二、向量线性无关

三、二者关系

1. 两个向量

2. 正交向量组

3. 一个向量与一个向量组正交

四、小结

【线代】行/列分块矩阵中向量正交有什么用？如何表述？向量正交和线性无关有什么关系？相关推荐

最新文章

热门文章