什么是二制制?

在数学计算中，二进制计数系统的公分母是最小的，它以2为基数。你还记得在小学或中学时所学的不同的计数系统吗?笔者在上小学时，曾在一堂数学课中学过以6为基数的计数系统；你先数1，2，3，4，5，然后是10，11，12，13，14，15，然后是20，等等，实际上，应该先数0，1，2，3，4，5，然后是10，1l，12，13，14，15，等等。从O开始数，能比较清楚地看出每6个数字组成一组——因此6就是基数。注意，你应该从O开始一起数到比基数小1的数(因为基数是6，所以你应该从O数到5)。当你数到5后，接着应该开始数两位数。如果你思考一下，你就会发现这与以10为基数(十进制)的计数系统是类似的——在你数到比基数小1的数(9)后，就转到两位数，并继续往下数。

计算机中的计数系统以2为基数——即二进制。由于以2为基数，所以你先数O，1，然后是10，11，然后是100，101，110，111，然后是1000，1001，1010，1011，1100，1101，1110，1111，等等。与以6为基数时不同，在以2为基数时，在数到两位数之前，只需从O数到1。

那么，为什么在计算机中要以2为基数呢?其原因在于计算机中使用了晶体管。晶体管使现代计算机的出现成为可能。晶体管就象电灯开关，电灯开关有“开”和“关”两种状态，晶体管也是如此。你可以认为“关”表示0，“开”表示1，这样，你就可以用一个晶体管(如果你愿意，也可以用一个电灯开关)来进行从。到1的计数了。仅仅使用两个数字(O到1)还不能做任何复杂的计算，但是我们还可以继续下去。假设有一个电灯开关控制面板，上面有4个大电灯开关，尽管每个开关只有两种状态，但是这些开关组合起来就会有16或2。(4个开关，每个2种状态)种不同的状态。这样，你就可以用4个开关来进行从。到15的计数了，见表20．22。

表20．22  进制计数

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开关         十进制值            幂

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O             O

1             1                 20

10             2                 21

11             3

100             4                 22

101             5

110             6

111             7

1000             8                 23

1001             9

1010            10

1011            11

1100            12

1101            13

1110            14

1111            15

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上表说明了很重要的三点：

通过把开关并排放在一起，你就可以用它们来计数了——在本例中最多可以数到15(总共16次计数)；

你可以把每个开关看作是一个二进制位，就象十进制系统中的十进制位一样；

如果每个开关都代表一个二进制位，那么它们刚好也都代表一个2的幂(20，21，22，23，等等)。

此外，请注意，在表中出现2的幂的地方，计数结果就要增加一个二进制位。这与十进制系统是相同的，每增加一个十进制位时，这个新的十进制位也正是一个10的幂(1=100，10=101，100=102，等等)。明白了这一点后，你就可以很容易地把二进制数转换为十进制数了，例如，二进制数10111就是(1×24)+(O×23)+(1×22)+(1×21)+(1×20)，它等于十进制的(16+0+4+2+1)或23。10 1110 1011，一个大得多的二进制数，就是(1×29)+(O×28)+(1×27)+(1×26)+(1×25)+(0×24)+(1×23)+(O×22)+(1×21)+(1×20)，它等于十进制的(512+0+128+64+32+0+8+0+2+1)或747。

那么所有这些和我们有什么关系呢?在计算机领域中，存在着位(bit)，半字节(nibble)和字节(byte)。一个半字节是4位，一个字节是8位。什么是一个位呢?它就是一个晶体管。因此，一个字节就是8个相邻的晶体管，就象表20．1中的4个开关一样。记住，如果你有4个组合在一起的开关(或晶体管)，你就可以数24或16，你可以把这看作是由开关组成的一个半字节。如果一个半字节是4个晶体管组合在一起，那么一个字节就是8个晶体管组合在一起。你可以用8个晶体管数到2。或256，从另一个角度看，这意味着一个字节(含8个晶体管)可以表示256个不同的数字(从0到 255)。再深入一点，Intel 386，486和Pentium处理器被叫做32位处理器，这意味着这些Intel芯片所进行的每一次运算都是32位宽或32个晶体管宽的。32个晶体管，或32位，等价于232或4，294，967，296，即它们能表示超过40亿个不同的数字。

当然，上述介绍还不能解释计算机是如何利用这些数字产生那种神奇的计算能力的，但它至少解释了计算机为什么要使用以及是如何使用二进制计数系统的。

什么是八进制?

八进制是以8为基数的一种计数系统。在八进制系统中，你是这样计数的：O，1，2，3，4，5，6，7，10，ll，12，13，等等。下面比较了八进制(第二行)和十进制(第一行)中的计数过程：

O，l，2，3，4，5，6，7，8，9，10．11，12，13，14，15，16

0，1，2．3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15，16，17，20

注意，在八进制中，在数到7后，就要增加一个八进制位，第二个八进制位显然就是8?(等于十进制的8)。如果你数到第三个八进制位(八进制的100)，那将是8?或十进制的64，因此，八进制的100等于十进制的64。

现在，八进制已经不象以前那样常用了，这主要是因为现在的计算机使用的是8，16，32或64位处理器，最适合它们的计数系统是二进制或十六进制(见20．24中有关十六进制计数系统的介绍)

C语言支持八进制字符集，这种字符要用反斜杠字符来标识。例如，在C程序中，下面的语句并不少见：

if(x=='\007')break;

这里的"\007"恰好就是ASCII值为7的字符；该语句用来检查终端鸣笛字符。另一个常见的八进制数是"\033"，即Escape字符(在程序中它通常表示为"\033")。然而，八进制数现在已经很少见了——它们被十六进制数代替了。

什么是十六进制?

十六进制(hexadecimal，缩写为hex)是以16为基数的计数系统，它是计算机中最常用的计数系统。十六进制中的计数过程为：O，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，1A，1B，1C，1D，1E，1F，等等。十六进制中的字母是几个单位数标识符，表示十进制的10到15。要记住在不同基数下的计数规则，即从O数到比基数小1的数字，在十六进制中这个数就是十进制的15。因为西式数字中没有表示大于9的单位数，所以就用A，B，c，D，E和F来表示十进制的10到15。在十六进制中，数到F之后，就要转到两位数上，也就是1OH或Ox1O。下面对十六进制(第二行)和十进制(第一行)的计数过程作一下比较：

1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……

1，2，3，4，5，6，7，8，9，A， B， C， D， E， F， 10，……

注意，十进制的10等于十六进制的A。与前面讨论过的计数系统一样，每增加一个十六进制位，实际上就增加了一个16的幂，即160(1)，161(16)，162(256)，163(4096)，等等。因此，十六进制数3F可以展开为(3×161)+(F×160)，等于十进制的(48+15)或63；十六进制数13F可以展开为(1×162)+(3×161)+(F×160)，等于十进制的(256+48+15)或319。在c程序中，这两个数用0x3F或Oxl3F这样的形式来表示，其中的“0x”前缀用来告诉编译程序(和程序员)该数字应被当作十六进制数来处理。如果不加“0x”前缀，你就无法判断一个数究竟是十六进制数还是十进制数(或者是八进制数)。

对表20．22稍作改进，加入十六进制的计数过程，就得到了表20．24：

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二进制    十进制值    二进制幂    十六进制    十六进制幂

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0000        O                       O

0001        1    20                 1            160

0010        2    21                 2

0011        3                       3

0100        4    22                 4

0101        5                       5

0110        6                       6

0111        7                       7

1000        8    23                 8

1001        9                       9

1010        10                      A

1011        11                      B

1100        12                      C

1101        13                      D

1110        14                      E

1111        15                      F

10000       16   24                10             161

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笔者在上表的最后又加了一行，使计数达到十进制的16。通过比较二进制、十进制和十六进制·你就会发现：“十”在二进制中是“1010”，在十进制中是“10”，在十六进制中是“A”；。。十六”在二进制中是“1 0000"或“10000”，在十进制中是“16”，在十六进制中是“1O”，，(见上表的最后一行)。这意味着什么呢?因为今天的16，32和64位处理器的位宽恰好都是16的倍数，所以在这些类型的计算机中用十六进制作为计数系统是非常合适的。

十六进制位和二进位之间有一种“倍数”关系。在上表的最后一行中，二进制值被分为两部分(1 0000)。4个二进制位(或者4位)可以计数到15(包括O在内共16个不同的数字)，而4位(bit)正好等于一个半字节(nibble)。在上表中你还可以发现，一个十六进制位同样可以计数到15(包括。在内共l 6个不同的数字)，因此，一个十六进制位可以代表4个二进制位。一个很好的例子就是用二进制表示十进制的15和16，在二进制中，十进制的15就是1111，正好是4个二进制位能表示的最大数字；在十六进制中，十进制的15就是F，也正好是一个十六进制位能表示的最大数字。十进制的16要用5个二进制位(1 0000)或两个十六进制位(10)来表示。下面把前文提到过的两个数字(0x3F和0x13F)转换为二进制：

3F              111111

l3F          100111111

如果把前面的空格换为O，并且把二进制位分成4位一组，那么看起来就会清楚一些：

3F     0 0011 1111

l3F    1 0011 1111

你并不一定要把二进制位分成4位一组，只不过当你明白了4个二进制位等价于一个十六进制位后，计数就更容易了。为了证明上述两组数字是相等的，可以把二进制值转换为十进制值(十六进制值到十进制值的转换已经在前文中介绍过了)；二进制的111111就是(1×25)+(1×24)+(1×23)+(1×22)+(1×21)+(1×20)，等于十进制的(32+16+8+4+2+1)或63，与0x3F的转换结果相同。二进制的1 0011 1111就是(1×28)+(O×27)+(0×26)+(1×25)+(1×24)+(1×23)+(1×22)++(1×21)+(1×20)，等于十进制的(256+32+1 6+8+4+2+1)或319。因此，十六进制和二进制能象手掌和手套那样相互匹配。