【POJ1322】Chocolate (生成函数)

Description

有 c c c种颜色的巧克力, 每种颜色有无限个. 现在每次取出一个巧克力, 其颜色等概率为 1 … c 1\dots c 1…c中的一种.

问最终有 m m m种颜色的巧克力个数为奇数的概率.

n ≤ 1 0 6 , c ≤ 100 n\le 10^6, c\le 100 n≤106,c≤100

Solution

睿智dp题。

设 f i , j f_{i,j} fi,j表示当前取了 i i i个、有 j j j种颜色是奇数个的概率，直接dp即可，时间复杂度 O ( n c ) O(nc) O(nc)。

Code

/*************************************** Au: Hany01* Prob: poj1322* Date: Nov, 18th, 2018* Email: hany01@foxmail.com
**************************************/#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>using namespace std;typedef long long LL;
typedef long double LD;
typedef pair<int, int> PII;
typedef vector<int> VI;
#define File(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)
#define Rep(i, j) for (register int i = 0, i##_end_ = j; i < i##_end_; ++ i)
#define For(i, j ,k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i <= i##_end_; ++ i)
#define Fordown(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i >= i##_end_; -- i)
#define Set(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define SZ(a) ((int)(a.size()))
#define ALL(a) a.begin(), a.end()
#define PB(a) push_back(a)
#define MP(a, b) make_pair(a, b)
#define X first
#define Y second
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define INF1 (2139062143)
#define y1 WoXiHuanNiA
#ifdef hany01
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#else
#define debug(...)
#endiftemplate<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline T read() {register char c_; register T _, __;for (_ = 0, __ = 1, c_ = getchar(); !isdigit(c_); c_ = getchar()) if (c_ == '-')  __ = -1;for ( ; isdigit(c_); c_ = getchar()) _ = (_ << 1) + (_ << 3) + (c_ ^ 48);return _ * __;
}
//EOTconst int maxn = 105;double fac[maxn];
inline void Init(int n) {fac[0] = 1;For(i, 1, n) fac[i] = fac[i - 1] * i;
}
inline double C(int n, int m) { return fac[n] / fac[m] / fac[n - m]; }inline double fpm(double a, int b) {register double ans = 1;for ( ; b; b >>= 1, a *= a)if (b & 1) ans *= a;return ans;
}double p[maxn], p_[maxn];int main() {#ifdef hany01File("poj1322");
#endifInit(100);for (register int n, m, c; scanf("%d", &c) != EOF && c; ) {n = read<int>(), m = read<int>();if (m > c || m > n || ((n - m) & 1)) { puts("0.000"); continue; }if (!n && !m) { puts("1.000"); continue; }register double ans = 0;Set(p, 0), Set(p_, 0);For(i, 0, m) For(j, 0, c - m) {int t = c - 2 * i - 2 * j;if (t > 0) p[t] += C(m, i) * C(c - m, j) * ((i & 1) ? -1 : 1) / fpm(2, c);else p_[-t] += C(m, i) * C(c - m, j) * ((i & 1) ? -1 : 1) / fpm(2, c);}For(k, 1, c) ans += fpm(1. * k / c, n) * (p[k] + ((n & 1) ? -1 : 1) * p_[k]) * C(c, m);printf("%.3f\n", ans);}return 0;
}

True-Solution

这题的时间复杂度可以做到 O ( c log ⁡ ) O(c\log ) O(clog)。
首先要保证 m ≤ c , m ≤ n m\le c, m\le n m≤c,m≤n且 n , m n,m n,m同奇偶，否则概率为 0 0 0。

由于是排列，考虑指数型生成函数。

对于出现奇数次的巧克力，其指数型生成函数为：

f 1 ( x ) = e x − e − x 2 f_1(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} f1(x)=2ex−e−x

出现偶数次的巧克力的生成函数为：

f 2 ( x ) = e x + e − x 2 f_2(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} f2(x)=2ex+e−x

方案数即为 ( c m ) × [ x n ] ( f 1 ( x ) m × f 2 ( x ) c − m ) × n ! \binom{c}{m}\times [x^n](f_1(x)^m\times f_2(x)^{c-m})\times n! (mc)×[xn](f1(x)m×f2(x)c−m)×n!。

(在 c c c中颜色中选择 m m m个取奇数次， n ! n! n!是指数型生成函数需要乘的)

这时，时间复杂度的瓶颈在于 n n n，考虑怎么把 n n n去掉。

我们可以将 f 1 ( x ) m × f 2 ( x ) c − m = ( e x − e − x 2 ) m × ( e x + e − x 2 ) c − m f_1(x)^m\times f_2(x)^{c-m}=\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^m\times \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^{c-m} f1(x)m×f2(x)c−m=(2ex−e−x)m×(2ex+e−x)c−m看作一个关于 e x e^x ex的多项式。 e k x e^{kx} ekx的系数对第 n n n项的贡献是 k n n ! \frac{k^n}{n!} n!kn，就可以把 n ! n! n!消掉了！

用FFT计算系数做到 c log ⁡ c\log clog（上面的代码是 O ( c 2 ) O(c^2) O(c2)计算的）。