AdaGrad算法

在一般的优化算法中，目标函数自变量的每一个元素在相同时间步都使用同一个学习率来自我迭代。

例如，假设目标函数为fff，自变量为一个二维向量[x1,x2]⊤[x_1, x_2]^\top[x1,x2]⊤，该向量中每一个元素在迭代时都使用相同的学习率。

例如，在学习率为η\etaη的梯度下降中，元素x1x_1x1和x2x_2x2都使用相同的学习率η\etaη来自我迭代：

x1←x1−η∂f∂x1,x2←x2−η∂f∂x2.x_1 \leftarrow x_1 - \eta \frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}, \quad x_2 \leftarrow x_2 - \eta \frac{\partial{f}}{\partial{x_2}}. x1←x1−η∂x1∂f,x2←x2−η∂x2∂f.

在（动量法）里我们看到当x1x_1x1和x2x_2x2的梯度值有较大差别时，需要选择足够小的学习率使得自变量在梯度值较大的维度上不发散。但这样会导致自变量在梯度值较小的维度上迭代过慢。动量法依赖指数加权移动平均使得自变量的更新方向更加一致，从而降低发散的可能。

而AdaGrad算法根据自变量在每个维度的梯度值的大小来调整各个维度上的学习率，从而避免统一的学习率难以适应所有维度的问题。

算法内容

AdaGrad算法会使用一个小批量随机梯度gt\boldsymbol{g}_tgt按元素平方的累加变量st\boldsymbol{s}_tst。

在时间步0，AdaGrad将s0\boldsymbol{s}_0s0中每个元素初始化为0
在时间步ttt，首先将小批量随机梯度gt\boldsymbol{g}_tgt按元素平方后累加到变量st\boldsymbol{s}_tst：

st←st−1+gt⊙gt,\boldsymbol{s}_t \leftarrow \boldsymbol{s}_{t-1} + \boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t,st←st−1+gt⊙gt,

其中⊙\odot⊙是按元素相乘。接着，我们将目标函数自变量中每个元素的学习率通过按元素运算重新调整一下：

xt←xt−1−ηst+ϵ⊙gt,\boldsymbol{x}_t \leftarrow \boldsymbol{x}_{t-1} - \frac{\eta}{\sqrt{\boldsymbol{s}_t + \epsilon}} \odot \boldsymbol{g}_t,xt←xt−1−st+ϵη⊙gt,

其中η\etaη是学习率，ϵ\epsilonϵ是为了维持数值稳定性而添加的常数，如10−610^{-6}10−6。这里开方、除法和乘法的运算都是按元素运算的。这些按元素运算使得目标函数自变量中每个元素都分别拥有自己的学习率。

小批量随机梯度按元素平方的累加变量st\boldsymbol{s}_tst出现在学习率的分母项中。因此

如果目标函数有关自变量中某个元素的偏导数一直都较大，那么该元素的学习率将下降较快
反之，如果目标函数有关自变量中某个元素的偏导数一直都较小，那么该元素的学习率将下降较慢。

然而，由于st\boldsymbol{s}_tst一直在累加按元素平方的梯度，自变量中每个元素的学习率在迭代过程中一直在降低（或不变）。所以，当学习率在迭代早期降得较快且当前解依然不佳时，AdaGrad算法在迭代后期由于学习率过小，可能较难找到一个有用的解。

例

目标函数f(x)=0.1x12+2x22f(\boldsymbol{x})=0.1x_1^2+2x_2^2f(x)=0.1x12+2x22
学习率0.4

from matplotlib import pyplot as pltdef show_trace_2d(f, results):  plt.plot(*zip(*results), '-o', color='#ff7f0e')x1, x2 = np.meshgrid(np.arange(-5.5, 1.0, 0.1), np.arange(-3.0, 1.0, 0.1))plt.contour(x1, x2, f(x1, x2), colors='#1f77b4')plt.xlabel('x1')plt.ylabel('x2')def train_2d(trainer):  x1, x2, s1, s2 = -5, -2, 0, 0  # s1和s2是自变量状态，本章后续几节会使用results = [(x1, x2)]for i in range(20):x1, x2, s1, s2 = trainer(x1, x2, s1, s2)results.append((x1, x2))print('epoch %d, x1 %f, x2 %f' % (i + 1, x1, x2))return results

%matplotlib inline
import math
import torchdef adagrad_2d(x1, x2, s1, s2):g1, g2, eps = 0.2 * x1, 4 * x2, 1e-6  # 前两项为自变量梯度s1 += g1 ** 2s2 += g2 ** 2x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2return x1, x2, s1, s2def f_2d(x1, x2):return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2eta = 0.4
show_trace_2d(f_2d, train_2d(adagrad_2d))

可以看到，自变量的迭代轨迹较平滑。但由于st\boldsymbol{s}_tst的累加效果使学习率不断衰减，自变量在迭代后期的移动幅度较小。

将学习率增大到2。可以看到自变量更为迅速地逼近了最优解。

eta = 2
show_trace_2d(f_2d, train_2d(adagrad_2d))

实现AdaGrad算法

def get_data_ch7():  data = np.genfromtxt('data/airfoil_self_noise.dat', delimiter='\t')data = (data - data.mean(axis=0)) / data.std(axis=0)return torch.tensor(data[:1500, :-1], dtype=torch.float32), \torch.tensor(data[:1500, -1], dtype=torch.float32) # 前1500个样本(每个样本5个特征)

features, labels = get_data_ch7()def init_adagrad_states():s_w = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32)s_b = torch.zeros(1, dtype=torch.float32)return (s_w, s_b)def adagrad(params, states, hyperparams):eps = 1e-6for p, s in zip(params, states):s.data += (p.grad.data**2)p.data -= hyperparams['lr'] * p.grad.data / torch.sqrt(s + eps)

def train_ch7(optimizer_fn, states, hyperparams, features, labels,batch_size=10, num_epochs=2):# 初始化模型net, loss = linreg, squared_lossw = torch.nn.Parameter(torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=(features.shape[1], 1)), dtype=torch.float32),requires_grad=True)b = torch.nn.Parameter(torch.zeros(1, dtype=torch.float32), requires_grad=True)def eval_loss():return loss(net(features, w, b), labels).mean().item()ls = [eval_loss()]data_iter = torch.utils.data.DataLoader(torch.utils.data.TensorDataset(features, labels), batch_size, shuffle=True)for _ in range(num_epochs):start = time.time()for batch_i, (X, y) in enumerate(data_iter):l = loss(net(X, w, b), y).mean()  # 使用平均损失# 梯度清零if w.grad is not None:w.grad.data.zero_()b.grad.data.zero_()l.backward()optimizer_fn([w, b], states, hyperparams)  # 迭代模型参数if (batch_i + 1) * batch_size % 100 == 0:ls.append(eval_loss())  # 每100个样本记录下当前训练误差# 打印结果和作图print('loss: %f, %f sec per epoch' % (ls[-1], time.time() - start))set_figsize()plt.plot(np.linspace(0, num_epochs, len(ls)), ls)plt.xlabel('epoch')plt.ylabel('loss')

train_ch7(adagrad, init_adagrad_states(), {'lr': 0.1}, features, labels)

也可以使用pytorch内置的optim.Adagrad实现AdaGrad优化器：

train_pytorch_ch7(torch.optim.Adagrad, {'lr': 0.1}, features, labels)

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