有向无环图的最短路径

给定一个有向无环图（DAG）和一个源点，求从该源点到其他所有的顶点的最短路径。如果是无负权（即权值为负），可以用djistra算法完成。但如果存在负权，则不行。同时，djistra算法效率并不高，既然是有向无环图（DAG），则可以利用拓扑排序的结果求出给定源点的最短路径。其时间复杂度是线性时间复杂度O（V+E）。关于拓扑排序，本文就不再给出具体说明，可以参考相关的资料。首先给出一个有向无环图及它的拓扑序列，如下图：

，其拓扑序列为r->s->t->x->y->z

求它的最短路径算法描述如下：

1.对有向无环图进行拓扑排序;

2.我们将到源点的距离初始化为0并将到其它所有顶点的距离设置为无穷大，如下图：

3.对于得到的拓扑序列，遍历一遍，对于每一个元素，看它的邻接边，（因为拓扑序列中当前元素只可能存在指向在它之后的元素的边），对它的邻接边做松弛操作，这样一遍过后，就得到了给定源节点的单源最短路径！具体如下图：

1 if(d[v]>d[u]+w(u,v))

2 then d[v]←d[u]+w(u,v)

3 π[v]←u /*解释松弛操作*/

s到t的最短路径长度为2,因此修改d[t]=2,s到x的目前最短路径为6，因此修改d[x]=6,一次松弛操作完成，结果如上图所示。

继续遍历下一个顶点t,重复第3步（非常类似djistra），结果如下图

继续，t完了，x继续，结果如下图

继续x完了，下个顶点y,y完了，下个顶点z,结果如下图：

C++完整代码：（直接可用，来自互联网）

#include <iostream>
#include <list>
#include <stack>
#include <limits.h>
#define INF INT_MAX
using namespace std;
// 邻接表节点
class AdjListNode
{
int v;
int weight;
public:
AdjListNode(int _v, int _w) { v = _v; weight = _w;}
int getV() { return v; }
int getWeight() { return weight; }
};
// 图
class Graph
{
int V; // 顶点个数
list<AdjListNode> *adj;
void topologicalSortRecall(int v, bool visited[], stack<int> &stk);
public:
Graph(int V);
void addEdge(int u, int v, int weight);
void shortestPath(int s);
};
Graph::Graph(int V)
{
this->V = V;
adj = new list<AdjListNode>[V];
}
void Graph::addEdge(int u, int v, int weight)
{
AdjListNode node(v, weight);
adj[u].push_back(node);
}
// 拓扑排序，递归调用。
void Graph::topologicalSortRecall(int v, bool visited[], stack<int> &stk)
{
// 标记当前节点是访问过的
visited[v] = true;
list<AdjListNode>::iterator i;
for (i = adj[v].begin(); i != adj[v].end(); ++i)
{
AdjListNode node = *i;
if (!visited[node.getV()])
topologicalSortRecall(node.getV(), visited, stk);
}
stk.push(v);
}

// 从给定的源点s 找出到其它顶点的最短距离.
void Graph::shortestPath(int s)
{
stack<int> stk;
int dist[V];
//标记所有顶点为未访问过的
bool *visited = new bool[V];
for (int i = 0; i < V; i++)
visited[i] = false;

// 拓扑排序，结果存入stk中
for (int i = 0; i < V; i++)
if (visited[i] == false)
topologicalSortRecall(i, visited, stk);
// 初始化距离
for (int i = 0; i < V; i++)
dist[i] = INF;
dist[s] = 0;
// 按照拓扑排序的顺序处理各个顶点
while (stk.empty() == false)
{
// 获得拓扑排序的下一个顶点
int u = stk.top();
stk.pop();
// 更新所有相邻的顶点
list<AdjListNode>::iterator i;
if (dist[u] != INF)
{
for (i = adj[u].begin(); i != adj[u].end(); ++i)
if (dist[i->getV()] > dist[u] + i->getWeight())
dist[i->getV()] = dist[u] + i->getWeight();
}
}
// 打印结果
for (int i = 0; i < V; i++)
(dist[i] == INF)? cout << "INF ": cout << dist[i] << " ";
}
// 测试
int main()
{
Graph g(6);
g.addEdge(0, 1, 5);
g.addEdge(0, 2, 3);
g.addEdge(1, 3, 6);
g.addEdge(1, 2, 2);
g.addEdge(2, 4, 4);
g.addEdge(2, 5, 2);
g.addEdge(2, 3, 7);
g.addEdge(3, 4, -1);
g.addEdge(4, 5, -2);
int s = 1;
cout << "Following are shortest distances from source " << s <<" \n";
g.shortestPath(s);
return 0;
}

主要参考了
参考：http://www.geeksforgeeks.org/shortest-path-for-directed-acyclic-graphs/

3.对于列表中的每一个顶点，我们从它的所有邻节点中找到最短路径的那个顶点;

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