牛客小白月赛16 J-小雨坐地铁（分层图最短路）

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/949/J
来源：牛客网

题目描述

小雨所在的城市一共有 m 条地铁线，分别标号为 1 号线，2 号线，……，m 号线。整个城市一共有 n 个车站，编号为 1∼n。其中坐 i 号线需要花费 ai 的价格，每坐一站就需要多花费 bi 的价格。i 号线有 ci 个车站，而且这 ci 个车站都已知，如果某一站有多条地铁线经过，则可以在这一站换乘到另一条地铁线，并且能多次换乘。现在小雨想从第 s 个车站坐地铁到第 t 个车站，地铁等待时间忽略不计，求最少花费的价格，若不能到达输出 -1 。（地铁是双向的，所以 s 可能大于 t）

输入描述:

第一行输入四个正整数 n,m,s,t，分别表示车站个数，地铁线数，起点站和终点站。
第二行到第 m+1 行，每行前三个数为 ai,bi,ci，分别表示坐 i 号线的价格，i 号线每坐一站多花的价格，i 号线车站个数。接下来 ci 个数，表示 i 号线的每一个车站的编号，单调递增。

输出描述:

共一行，一个数表示最小花费，若不能到达输出 -1 。

示例1
输入

5 2 1 4
2 2 3 1 3 5
2 1 4 2 3 4 5

输出

7

说明

坐 1 号线：花费 2；
1→3：花费 2；
换乘 2 号线：花费 2；
3→4：花费 1；
所以最小总花费为 7 。

备注:

1 ≤ n ≤ 10³, 1 ≤ m ≤ 500, 1 ≤ s,t ≤ n,1 ≤ a_i,b_i≤100 , 1 ≤ c_i ≤ n, ∑ c_i≤10⁵

分析：

不同的地铁线路属于不同的层次，所以是分层图，但是不同层的图之间有相交，如果两两暴力连图时间复杂度会达到O(n*m²)

这里就要用到虚点，就是在原有分层图的基础上再加一层分层图，里面是1~n 所有点的虚点，用于作为中转站（相当于人在地铁站，但是还没决定做哪一号线路），所有点到其虚点的花费为0，而从虚点到对应点的花费为该点所在地铁线路的初始花费。

这样建图的时间复杂度就只有O(n*2m)了，同时在使用最短路算法时，起点s和终点t都选定在其虚点上（不然会有多个s和t，而且需要考虑从某一条地铁线路开始的花费）

对于点的编号，因为一条线路（一层分层图）上至多有n个点，所以不同线路的编号可以依次加上0、n、2n、… 、(m-1)* n，而虚点则加上 m* n。

以下代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<algorithm>
#define PII pair<int,int>
#define LL long long
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MOD=1e9+7;
const int maxn=1e3+50;
const int maxm=500+50;
int n,m,s,t;
int head[maxn*maxm],cnt;
int dist[maxn*maxm];
bool vis[maxn*maxm];
struct edge
{int u;int v;int c;int next;
}e[maxn*maxn];
struct node {int d, id;node(int a,int b){d=a;id=b;}bool friend operator < (node x, node y) {return x.d > y.d;}
};
void addedge(int u,int v,int c)
{e[cnt].u=u;e[cnt].v=v;e[cnt].c=c;e[cnt].next=head[u];head[u]=cnt++;
}
void dijkstra(int s)
{memset(dist,0x3f,sizeof(dist));memset(vis,false,sizeof(vis));priority_queue<node> q;dist[s]=0;q.push(node(0,s));while(!q.empty()){int u=q.top().id;q.pop();if(vis[u])continue;elsevis[u]=true;for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){int v=e[i].v;if(!vis[v]&&dist[u]+e[i].c<dist[v]){dist[v]=dist[u]+e[i].c;q.push(node(dist[v],v));}}}
}
int main()
{memset(head,-1,sizeof(head));cnt=0;scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&s,&t);for(int i=1;i<=m;i++){int a,b,c,x,pre;scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);for(int j=1;j<=c;j++){scanf("%d",&x);addedge((i-1)*n+x,n*m+x,0);  //与虚点相连addedge(n*m+x,(i-1)*n+x,a);if(j!=1){addedge((i-1)*n+pre,(i-1)*n+x,b);addedge((i-1)*n+x,(i-1)*n+pre,b);  //与同线路点相连}pre=x;}}dijkstra(n*m+s);if(dist[n*m+t]<INF)printf("%d\n",dist[n*m+t]);elseprintf("-1\n");return 0;
}

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分析：

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