Harris角点检测

人眼对角点的识别通常是在一个局部的小区域或小窗口完成的。如果在各个方向上移动这个特征的小窗口，窗口内区域的灰度发生了较大的变化，那么就认为在窗口内遇到了角点。如果这个特定的窗口在图像各个方向上移动时，窗口内图像的灰度没有发生变化，那么窗口内就不存在角点；如果窗口在某一个方向移动时，窗口内图像的灰度发生了较大的变化，而在另一些方向上没有发生变化，那么，窗口内的图像可能就是一条直线的线段。如下图：

首先，将图像窗口平移[u,v]产生灰度变化的自相关函数如下：

其中窗口函数（权重矩阵）可以是平坦的，也可以是高斯的如下图（权重矩阵W（通常为高斯滤波器Gσ）：

然而将平移后的式子进行泰勒展开如下：

则:

，

其中Ο(u2,v2)近似为0.故该式可以进一步简化。

由于是对局部微小的移动量 [u,v]，所以可以近似得到下面忽略余项之后的表达式为一个二项式函数

其中，M的表达式如下，可由图像的导数求得：

即M=W*MI,其中

该卷积的目的是得到MI在周围像素上的局部平均。矩阵M又称为Harris矩阵。W 的宽度决定了在像素x 周围的感兴趣区域。像这样在区域附近对矩阵M取平均的原因是，特征值会依赖于局部图像特性而变化。如果图像的梯度在该区域变化，那么MI 的第二个特征值将不再为0。如果图像的梯度没有变化，M的特征值也不会变化。

忽略余项之后的表达式为一个二项式函数，然而二项式函数的本质上就是一个椭圆函数，椭圆的扁率和尺寸是由M(x,y)的特征值λ1、λ2决定的，椭圆的方向是由M(x,y)的特征矢量决定的，如下图所示，椭圆方程为：

椭圆函数特征值与图像中的角点、直线（边缘）和平面之间的关系如下图所示。共可分为三种情况：

图像中的直线。一个特征值大，另一个特征值小，λ1>λ2或λ2>λ1。自相关函数值在某一方向上大，在其他方向上小。
图像中的平面。两个特征值都小，且近似相等；自相关函数数值在各个方向上都小。
图像中的角点。两个特征值都大，且近似相等，自相关函数在所有方向都增大。

通过M的两个特征值λ1和λ2的大小对图像点进行分类：

如果λ1和λ2都很小，图像窗口在所有方向上移动都无明显灰度变化。

由于我们是通过M的两个特征值的大小对图像进行分类，所以，定义角点相应函数R：

其中k为经验常数，一般取k=0.04~0.06。为了去除加权常数κ，我们通常使用商数detM/(traceM)2作为指示器。：所以，上图可以转化为：

其中：

• R 只与M的特征值有关

• 角点：R 为大数值正数

• 边缘：R 为大数值负数

• 平坦区：R 为小数值

在判断角点的时候，–对角点响应函数R进行阈值处理：R > threshold，提取R的局部极大值。

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