三维空间变换：刚体变换、仿射变换、线性变换、旋转变换

文章目录

1 刚体变换、仿射变换、线性变换的概念
2 旋转变换
- 2.1 坐标系旋转（逆时针）
- 2.2 复合旋转
- 2.3 向量旋转

1 刚体变换、仿射变换、线性变换的概念

刚体变换是指在三维空间中，把一个物体做旋转、平移，是一种保持物体大小和形状不变的仿射变换，刚体变换又称为欧式变换、齐次变换。

仿射变换是指物体从一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换到另一个向量空间。平移、旋转、缩放、剪切、反射以及它们任意次序的组合都是仿射变换

线性变换具有以下几个性质

变换前是直线的，变换后依然是直线，且比例保持不变
变换前是原点的，变换后依然是原点

旋转、推移都是线性变换

2 旋转变换

旋转变换有两种：

向量旋转：物体在固定坐标系下的旋转，旋转后坐标发生改变
坐标系旋转：旋转后物体坐标不变

2.1 坐标系旋转（逆时针）

绕某一轴逆时针旋转，旋转角度正负方向的定义：

满足右手定则：右手握住旋转轴，大拇指指向旋转轴正方向，四指弯曲的方向即为旋转的正方向

2.2 复合旋转

多次旋转变换称为复合旋转，有两种情况：

复合旋转在当前坐标系(中间坐标系)，即沿每一次旋转变换后的坐标轴旋转，旋转矩阵依次右乘，即 R02=R01R12
复合旋转在固定坐标系，即每次旋转以同一固定坐标系的坐标轴进行旋转，旋转矩阵依次左乘，即 R02=R12R01

两种复合旋转等价 ：固定坐标系下的复合旋转可以通过次序相反的中间坐标系旋转获得，即 RxcRycRzc = RzfRyfRxf. 其中，c 即 center，中间坐标系；f 即 fixed，固定坐标系

2.3 向量旋转

参考资料

如何通俗地讲解「仿射变换」这个概念？

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