最大后验概率准则在通信中的应用

1 问题

考虑二元信号（BPSK）的检测问题。当假设H0H_0H0为真时，信源产生−1-1−1，当H1H_1H1为真时，信源产生+1+1+1。信源叠加均值为0、方差为σ2\sigma^2σ2的高斯噪声nnn，成为观测信号yyy。这样，在两个假设下，观测信号模型为
{H0:y=−1+nH1:y=+1+n(1)\left\{\begin{array}{l} H_0:y=-1+n \\ H_{1}:y=+1+n \end{array}\right.\tag{1} {H0:y=−1+nH1:y=+1+n(1)

根据观测信号检测原始信号。

2 分析

根据已知条件，可以写出两种假设下观测信号的概率密度函数，分别为

{P(y∣H1)=12πσexp⁡[−(y−1)22σ2]P(y∣H0)=12πσexp⁡[−(y+1)22σ2]\left\{\begin{array}{l}P\left(y \mid H_{1}\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \left[-\frac{(y-1)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right] \\\\ P\left(y \mid H_{0}\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \left[-\frac{(y+1)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right]\end{array}\right.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧P(y∣H1)=2πσ1exp[−2σ2(y−1)2]P(y∣H0)=2πσ1exp[−2σ2(y+1)2]

在通信中，或者在二元假设检验问题中，我们一般假定信源输出受先验概率P(H0)P(H_0)P(H0)、P(H1)P(H_1)P(H1)控制，显然，在检测的时候一个合理的判决准则即在观测结果yyy已知的条件下，选择事件H0H_0H0、H1H_1H1出现概率较大的那一个事件，即通过比较P(H0∣y)P(H_0|y)P(H0∣y)和P(H1∣y)P(H_1|y)P(H1∣y)的大小来判定信源是P(H0)P(H_0)P(H0)还是P(H1)P(H_1)P(H1)。即当

P(H1∣y)>P(H0∣y)(3)P(H_1|y)>P(H_0|y)\tag{3} P(H1∣y)>P(H0∣y)(3)
或

P(H1∣y)P(H0∣y)>1(4)\displaystyle\frac{P(H_1|y)}{P(H_0|y)}>1\tag{4} P(H0∣y)P(H1∣y)>1(4)
时，选择H0H_0H0，否则，选择H1H_1H1。

上述判决过程可以简写城下列表达式

P(H1∣y)P(H0∣y)≷H0H11(5)\frac{P\left(H_{1}|y\right)}{P\left(H_{0}| y\right)} \gtrless_{H_{0}}^{H_{1}} 1\tag{5} P(H0∣y)P(H1∣y)≷H0H11(5)

式5通常称为判决表达式。因为P(H0∣y)P(H_0|y)P(H0∣y)和P(H1∣y)P(H_1|y)P(H1∣y)两个条件概率是在得到观测值yyy后事件H0H_0H0、H1H_1H1出现的概率，所以称它们为后验概率。根据式5进行判决的准则称为最大后验概率准则。

对上述问题采用最大后验概率准则进行检测.根据贝叶斯公式，有

P(H0∣y)=P(y∣H0)P(H0)P(y)(6)P(H_0|y)=\displaystyle\frac{P(y|H_0)P(H_0)}{P(y)}\tag{6} P(H0∣y)=P(y)P(y∣H0)P(H0)(6)

P(H1∣y)=P(y∣H1)P(H1)P(y)(7)P(H_1|y)=\displaystyle\frac{P(y|H_1)P(H_1)}{P(y)}\tag{7} P(H1∣y)=P(y)P(y∣H1)P(H1)(7)

将(6)(7)式代入(5)式，得到
P(H1∣y)P(H0∣y)=P(y∣H1)P(H1)P(y∣H0)P(H0)≷H0H11(8)\frac{P\left(H_{1}|y\right)}{P\left(H_{0}| y\right)} =\displaystyle\frac{P(y|H_1)P(H_1)}{P(y|H_0)P(H_0)}\gtrless_{H_{0}}^{H_{1}} 1\tag{8} P(H0∣y)P(H1∣y)=P(y∣H0)P(H0)P(y∣H1)P(H1)≷H0H11(8)

在通信中，一般情况下，发送端0和1的个数是相等的，即

P(H0)=P(H1)=0.5(9)P(H_0)=P(H_1)=0.5\tag{9} P(H0)=P(H1)=0.5(9)

将(2)式、(9)式代入(8)式，得
P(H1∣y)P(H0∣y)=P(y∣H1)P(y∣H0)=exp⁡[4y2σ2]≷H0H11(10)\frac{P\left(H_{1}|y\right)}{P\left(H_{0}| y\right)} =\displaystyle\frac{P(y|H_1)}{P(y|H_0)}=\exp[\displaystyle\frac{4y}{2\sigma^2}]\gtrless_{H_{0}}^{H_{1}} 1\tag{10} P(H0∣y)P(H1∣y)=P(y∣H0)P(y∣H1)=exp[2σ24y]≷H0H11(10)

两边取对数，得到

ln⁡[exp⁡[4y2σ2]]=4y2σ2≷H0H10(11)\ln[\exp[\displaystyle\frac{4y}{2\sigma^2}]]=\displaystyle\frac{4y}{2\sigma^2}\gtrless_{H_{0}}^{H_{1}} 0\tag{11} ln[exp[2σ24y]]=2σ24y≷H0H10(11)

因为σ>0\sigma>0σ>0，则在这个假设下，用最大后验概率准则检测信号时，问题转化为，观测值大于0，则判断原始信号为1，观测值小于0，判断原始信号为0。

3 代码

%-----------最大后验概率仿真-----------
%-------------------------------------%信源
%二进制,0和1的概率相同,均为50%
simLen = 200000;x = randi([0 1],1,simLen);%BPSK调制,调制之后，信号功率为1
sig = 2*x-1;%------------------
loopTime = 60;snr = zeros(1,loopTime);
ber = zeros(1,loopTime);for i=1:loopTime%信道%高斯白噪声信道theta = 0.1+i*0.05;%计算信噪比snr(i) = 10*log2(1/(theta^2));s = randn(1,simLen)*theta;%接收端的观测值y = sig + s;if i==20%画图figure(1)subplot(2,1,1);plot(sig(1:40),'o-');grid on;title('modulated data');axis([-inf inf -2 2]);subplot(2,1,2)plot(y(1:40),'o-')axis([-inf inf -4 4]);grid on;title('modulated data with noise');end%根据最大后验概率准则进行信号检测%计算p(y|h0)和p(y|h1)%p(y|h0)p0 = exp(-((y+1).^2)./(2*theta*theta));%p(y|h1)p1 = exp(-((y-1).^2)./(2*theta*theta));%计算比值%eta = p1./p0;%eta = exp(4*y/(2*theta*theta));eta=y;%检测结果sigmod = eta>0;ber(i) = 1-sum(sigmod==x)/simLen;end%误码率图
figure(2)
semilogy(snr,ber,'^--')
grid on
title('MAP detection')
xlabel('SNR(dB)')
ylabel('BER')

4 结果