2-3 实变函数之测度论

1.外测度

定义：设EEE为RnR^nRn中任一点集，对于每一列覆盖EEE的开区间⋃i=1∞Ii⊂E\bigcup_{i=1}^{\infty}I_i\subset E⋃i=1∞Ii⊂E,作出它的体积总和μ=∑i=1∞∣Ii∣(μ可以等于+∞，不同的区间一般有不同的μ)\mu=\sum_{i=1}^{\infty}|I_i|(\mu可以等于+\infty，不同的区间一般有不同的\mu)μ=∑i=1∞∣Ii∣(μ可以等于+∞，不同的区间一般有不同的μ),所有这一切μ\muμ组成一个有下界的数集，它的下确界（完全由E确定）称为E的勒贝格外测度，简称L外测度或外测度，记为m∗E,m^*E,m∗E,即
m∗E=infE⊂∑i=1∞Ii∣Ii∣m^*E=\underset{E\subset\sum_{i=1}^{\infty}I_i}{inf}|I_i|m∗E=E⊂∑i=1∞Iiinf∣Ii∣.
定理
(1). m∗E≥0,当E为空集时，则m∗E=0m^*E\geq0,当E为空集时，则m^*E=0m∗E≥0,当E为空集时，则m∗E=0
(2). 设A⊂B,则m∗A≤m∗B设A\subset B,则m^*A\le m^*B设A⊂B,则m∗A≤m∗B(单调性)
(3). m∗(⋃i=1∞Ai)≤∑i=1∞mi∗m^*(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)\le \sum_{i=1}^{\infty}m^*_im∗(⋃i=1∞Ai)≤∑i=1∞mi∗(次可数可加性)
两个例子
(1). 空间中可数点集外测度为0；
proof：取Ii=(ri−ϵ2i+1,ri−ϵ2i+1)I_i=(r_i-\frac{\epsilon}{2^{i+1}},r_i-\frac{\epsilon}{2^{i+1}})Ii=(ri−2i+1ϵ,ri−2i+1ϵ)即可。
(2). 平面中直线的外测度为0.
proof：直线可由可数个区间长度为ϵ\epsilonϵ的开区间覆盖，而每个开区间的测度为0，由次可数可加性性可得。
注：a. cantor三分集外测度为0；
b. 有理数集的外测度为0；

2.可测集

(1). 定义

设E是RnE是R^nE是Rn中的点集，如果对任意点集T都有：
m∗T=m∗(T⋂E)+m∗(T⋂Ec)m^*T=m^*(T\bigcap E)+m^*(T\bigcap E^c)m∗T=m∗(T⋂E)+m∗(T⋂Ec)
则称E是可测的，此时E的外测度即为E的测度。

(2). 定理

I.集合E可测的充要条件是对于任意A⊂E,B⊂E总有I. 集合E可测的充要条件是对于任意A\subset E,B\subset E总有I.集合E可测的充要条件是对于任意A⊂E,B⊂E总有
m∗(A⋃)B=m∗A+m∗Bm^*(A\bigcup)B=m^*A+m^*Bm∗(A⋃)B=m∗A+m∗B.
II.S可测的充要条件是Sc可测II.S可测的充要条件是S^c可测II.S可测的充要条件是Sc可测.
III.若S1,S2均可测，则S1⋃S2也可测，并且当S1⋂S2≠∅时，对于任意集合T总有III.若S_1,S_2均可测，则S_1\bigcup S_2也可测，并且当S_1\bigcap S_2\neq\empty 时，对于任意集合T总有III.若S1,S2均可测，则S1⋃S2也可测，并且当S1⋂S2=∅时，对于任意集合T总有
m∗(T⋂(S1⋃S2))=m∗(T⋂S1)+m∗(T⋂S2)m^*(T\bigcap (S_1\bigcup S_2))=m^*(T\bigcap S_1)+m^*(T\bigcap S_2)m∗(T⋂(S1⋃S2))=m∗(T⋂S1)+m∗(T⋂S2).
IV.若S1,S2均可测，则S1⋂S2也可测.IV.若S_1,S_2均可测，则S_1\bigcap S_2也可测.IV.若S1,S2均可测，则S1⋂S2也可测.
V.若S1,S2均可测，则S1−S2也可测.V.若S_1,S_2均可测，则S_1- S_2也可测.V.若S1,S2均可测，则S1−S2也可测.
VI.设{Si}是一列互不相交的可测集，则⋃i=i∞Si也是可测集，且VI.设\{S_i\}是一列互不相交的可测集，则\bigcup_{i=i}^{\infty}S_i也是可测集，且VI.设{Si}是一列互不相交的可测集，则⋃i=i∞Si也是可测集，且
m(⋃i=i∞Si=∑i=1∞mSim(\bigcup_{i=i}^{\infty}S_i=\sum_{i=1}^{\infty}mS_im(⋃i=i∞Si=∑i=1∞mSi
VII.设{Si}是一列可测集，则⋂i=i∞Si也是可测集VII.设\{S_i\}是一列可测集，则\bigcap_{i=i}^{\infty}S_i也是可测集VII.设{Si}是一列可测集，则⋂i=i∞Si也是可测集

3.可测集类

定理1.
（1）. 凡外测度为0之集皆可测，称为零测度集。
（2）.零测度集之任何子集仍为零测度集。
（3）. 有限个或可数个零测度集之和仍为零测度集。
定理2：区间I（无论开闭）都是可测集和，且m∗I=∣I∣区间I（无论开闭）都是可测集和，且m^*I=|I|区间I（无论开闭）都是可测集和，且m∗I=∣I∣.
定理3：凡开集闭集皆可测。
定理4：凡博雷尔集皆LLL可测.
注1：设Ω是Rn中某些集合组成的集合类如果Rn∈Ω,并且Ω注1：设\Omega是R^n中某些集合组成的集合类如果R^n\in \Omega,并且\Omega注1：设Ω是Rn中某些集合组成的集合类如果Rn∈Ω,并且Ω对于可数并及做差运算（由德摩根公式是对可数交及取余运算）是封闭的，则称Ω为Rn上的一个σ代数。\Omega为R^n上的一个\sigma代数。Ω为Rn上的一个σ代数。
注2：设∑是Rn中某些集合组成的集族，称Rn上包含∑的σ注2：设\sum是R^n中某些集合组成的集族，称R^n上包含\sum的\sigma注2：设∑是Rn中某些集合组成的集族，称Rn上包含∑的σ代数为由∑生成的σ代数。\sum生成的\sigma代数。∑生成的σ代数。