文章目录

1 FMCW雷达简介
2 测距原理
- 2.1 测距范围
- 2.2 距离分辨率
3 测速原理
- 3.1 测速范围
- 3.2 速度分辨率
4 测角原理
- 4.1 测角范围
- 4.2 角度分辨率
5 参考资料

1 FMCW雷达简介

调频连续波雷达（Frequency Modulated Continuous Wave Radar，简称FMCW雷达），是指发射频率受特定信号调制的连续波雷达。其连续发射调频信号，以测量距离、速度以及角度。

FMCW雷达系统所用信号的频率随时间变化呈线性升高。这种类型的信号也称为线性调频脉冲，如图1所示。

图1 线性调频脉冲信号（以振幅作为时间的函数）

图2为同一个线性调频脉冲信号（频率作为时间的函数）。该线性调频脉冲具有起始频率（ f c f_c fc）、带宽（ B B B）和持续时间（ T c T_c Tc）。该线性调频脉冲的斜率( S S S)捕捉频率的变化率。FMCW雷达系统发射线性调频脉冲信号，并捕捉其发射路径中的物体反射的信号。

图2 线性调频脉冲信号（以频率作为时间的函数）

图 3 所示为 FMCW 雷达主射频组件的简化框图。该雷达的工作原理如下：

图3 FMCW雷达框图

合成器生成一个线性调频脉冲；
该线性调频脉冲由发射天线（TX 天线）发射；
物体对该线性调频脉冲的反射生成一个由接收天线（RX 天线）捕捉的反射线性调频脉冲；
“混频器”将 RX 和 TX 信号合并到一起，生成一个中频 (IF) 信号。
对于两个正弦输入 x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2：
x 1 = sin ⁡ ( ω 1 t + Φ 1 ) x 2 = sin ⁡ ( ω 2 t + Φ 2 ) \begin{aligned} &x_{1}=\sin \left(\omega_{1} t+\Phi_{1}\right) \\ &x_{2}=\sin \left(\omega_{2} t+\Phi_{2}\right) \end{aligned} x1=sin(ω1t+Φ1)x2=sin(ω2t+Φ2)
输出 x o u t x_{out} xout有一个瞬时频率，等于两个输入正弦函数的瞬时频率之差，其相位等于两个输入信号的相位之差：
x out = sin ⁡ [ ( ω 1 − ω 2 ) t + ( Φ 1 − Φ 2 ) ] x_{\text {out }}=\sin \left[\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) t+\left(\Phi_{1}-\Phi_{2}\right)\right] xout =sin[(ω1−ω2)t+(Φ1−Φ2)]
图4则展示了从图像的角度理解混频器的作用。混合器输出的信号频率TX chirp和RX chirp的瞬时频率的差值为一条直线，可视为雷达前面的单个物体产生一个恒频音调的中频信号IF。

图4 混频作用

2 测距原理

假设雷达和待测物体相距 d d d， τ τ τ是发射信号和接收信号之间的时延， c c c是光速，可以写出：
τ = 2 ∗ d c τ=\frac{2*d}{c} τ=c2∗d
转换表达形式，可以求出 d d d：
d = τ ∗ c 2 d=\frac{τ*c}{2} d=2τ∗c

2.1 测距范围

不难发现，中频信号的频率可以表示为：

f I F m a x = S ∗ 2 ∗ d m a x c f_{IFmax}=\frac{S*2*d_{max}}{c} fIFmax=cS∗2∗dmax
IF信号通常被数字化（LPF+ADC），用于在DSP上进行进一步处理。因此，IF带宽收到ADC采样率（ F s F_s Fs）的限制，即
F s = S ∗ 2 ∗ d m a x c F_{s}=\frac{S*2*d_{max}}{c} Fs=cS∗2∗dmax
可以求出雷达可以测得的最大距离为：
d m a x = F s ∗ c 2 S d_{max}=\frac{F_{s}*c}{2S} dmax=2SFs∗c
Tips:在设计FMCW雷达的时候需要注意ADC必须支持 2 ∗ S ∗ d m a x c \frac{2*S*d_{max}}{c} c2∗S∗dmax的中频带宽。

2.2 距离分辨率

对ADC数据执行FFT（即Range-FFT），将时域信号转换为频域信号，时域的正弦曲线在频域上产生一个峰值，获得的峰在频谱中的位置直接对应于物体的范围。

图5 FFT

想要能分辨两个信号，与观测窗口的时长有关。观测周期越长，分辨率越好。一般来说， T T T的观测窗口可以分离出间隔超过 1 / T 1/T 1/T Hz的频率分量。

图6 短观测窗口

图7 长观测窗口

雷达前的多个物体，那在RX天线上有多个反射chirp，中频信号的频谱将显示多个频率，每个频率与雷达上每个物体的范围成正比。而增加中频信号IF的长度，可以获得更大的观测窗口，越有可能分辨出两个信号。值得注意的是，增加中频信号IF的长度也会按比例增加带宽，因此，直观地看：带宽越大，分辨率越好。

图8 增加中频信号IF的长度对分辨两物体的影响

结合上文，一个距离为 d d d的物体产生频率为 2 S d c \frac{2Sd}{c} c2Sd的中频，而只要频率差 Δ f > 1 / T \Delta f>1/T Δf>1/T就可以分辨两个中频，那么，对于以距离 Δ d \Delta d Δd分隔的两个物体，它们的IF频率的差值由 Δ f = S 2 Δ d c \Delta f = \frac{S2Δd}{c} Δf=cS2Δd给出，由于观测间隔为Tc，这意味着
Δ f > 1 T c ⇒ S 2 Δ d c > 1 T c ⇒ Δ d > c 2 S T c = c 2 B \Delta f >\frac{1}{T_c} \Rightarrow \frac{S2Δd}{c}>\frac{1}{T_c} \Rightarrow \Delta d>\frac{c}{2ST_c} = \frac{c}{2B} Δf>Tc1⇒cS2Δd>Tc1⇒Δd>2STcc=2Bc

因此，距离分辨率（ d r e s d_{res} dres）仅取决于由chirp扫过的带宽：
d r e s = c 2 B d_{res}=\frac{c}{2B} dres=2Bc

总结：更大的chirp带宽意味着更好的距离分辨率；
更大的IF带宽意味着更快的chirp和更大的检测范围。
对于离散序列，其序列长度越长，分辨率越好。一般来说，一个长度为 N N N的序列可以分离出间隔超过 2 π N \frac{2\pi}{N} N2πrad/sample。

3 测速原理

回想一下，混频器输出的信号的初始相位是两个输入的初始相位的差。对于距离雷达的距离为 d d d的物体，中频信号将为正弦信号，如图5所示：
A s i n ( 2 π ∗ f t + Φ 0 ) Asin(2\pi*ft+\Phi_{0}) Asin(2π∗ft+Φ0)
其中， f = S 2 d c f=\frac{S2d}{c} f=cS2d。

图9 混频作用

如果往返的时延发生了 Δ τ \Deltaτ Δτ的少量变化（可理解为雷达前物体发生了小距离位移），如图10所示，那么，A和D的相位差为
Δ Φ = 2 π f c Δ τ = 4 π Δ d λ \Delta \Phi = 2\pi f_c \Deltaτ=\frac{4\pi \Delta d}{\lambda} ΔΦ=2πfcΔτ=λ4πΔd
这也是C和F之间的相位差。

图10 相位变化

3.1 测速范围

中频信号的相位对物体范围的微小变化非常敏感。通过两个连续的chirp测量的相位差 Δ ω \Delta \omega Δω可以用来估计物体的速度 v v v。假设接收天线接收到了两个chirp，时间间隔为 T c T_c Tc，根据前文的相位差推导，可以得到：
Δ ω = 4 π v T c λ ⇒ v = λ Δ ω 4 π T c \Delta \omega=\frac{4\pi vT_c}{\lambda} \Rightarrow v=\frac{\lambda \Delta \omega}{4\pi T_c} Δω=λ4πvTc⇒v=4πTcλΔω
如图11所示，当相位差 0 < Δ ω < 180 ° 0<\Delta \omega<180° 0<Δω<180°和 − 180 ° < Δ ω < 0 -180°<\Delta \omega<0 −180°<Δω<0的时候，所求值唯一。但是当 ∣ Δ ω ∣ > 180 ° ( 即 π ) |\Delta \omega|>180°(即\pi) ∣Δω∣>180°(即π)的时候，所求值不唯一。

图11 相位差变化范围对测速的影响

因此，如果想所求速度唯一，需要满足 ∣ Δ ω ∣ < π |\Delta \omega |< \pi ∣Δω∣<π，即
4 π v T c λ < π ⇒ v = λ 4 π T c \frac{4\pi vT_c}{\lambda}< \pi \Rightarrow v=\frac{\lambda}{4\pi T_c} λ4πvTc<π⇒v=4πTcλ

那么，通过两个间隔为 T c T_c Tc的chirp可以测量的最大相对速度 v m a x v_{max} vmax为：
v m a x = λ 4 T c v_{max}=\frac{\lambda}{4T_c} vmax=4Tcλ

3.2 速度分辨率

对于一个长度为 N N N的离散序列，可以分离频率 ω 1 \omega_1 ω1和 ω 2 \omega_2 ω2且 ∣ ω 1 − ω 2 ∣ > 2 π / N | \omega_1-\omega_2|>2\pi /N ∣ω1−ω2∣>2π/N，可得：
Δ ω = ∣ ω 1 − ω 2 ∣ > 2 π N \Delta \omega=| \omega_1-\omega_2|>\frac{2\pi}{N} Δω=∣ω1−ω2∣>N2π
又因为，
Δ ω = 4 π Δ v T c λ \Delta \omega=\frac{4\pi \Delta v T_c}{\lambda} Δω=λ4πΔvTc
可以得到：
Δ v > λ 2 N T c \Delta v>\frac{\lambda}{2NT_c} Δv>2NTcλ
雷达的速度分辨率于帧时间（ T f T_f Tf）成反比，即：
v r e s = λ 2 T f v_{res}=\frac{\lambda}{2T_f} vres=2Tfλ

4 测角原理

当两个物体的离天线距离相同、速度相同，此时2D-FFT已经无法分辨，需要引入方位角辅助判断。FMCW雷达系统可以使用水平面估算发射信号的角度，该角度也称为到达角（AoA）。角度的测量需要至少2个RX天线，利用物体到每个天线的不同距离导致2D-FFT峰值的相位变化来估计AoA。

图12 天线测角原理图

4.1 测角范围

相位的变化在数学上可以推导出下式：
Δ ϕ = 2 π Δ d λ \Delta \phi=\frac{2\pi \Delta d}{\lambda} Δϕ=λ2πΔd
而根据图12中的几何关系，可以得到：
Δ d = d ∗ s i n θ \Delta d=d*sin\theta Δd=d∗sinθ
那么，
Δ ϕ = 2 π d s i n θ λ ⇒ θ = s i n − 1 ( λ Δ ϕ 2 π d ) \Delta \phi=\frac{2\pi dsin\theta}{\lambda} \Rightarrow \theta=sin^{-1}(\frac{\lambda\Delta \phi}{2\pi d}) Δϕ=λ2πdsinθ⇒θ=sin−1(2πdλΔϕ)
同时，角度的准确测量也离不开 ∣ Δ ω ∣ < π |\Delta \omega |< \pi ∣Δω∣<π，即
2 π d s i n θ λ < π ⇒ θ = s i n − 1 ( λ 2 d ) \frac{2\pi dsin\theta}{\lambda}<\pi \Rightarrow \theta=sin^{-1}(\frac{\lambda}{2d}) λ2πdsinθ<π⇒θ=sin−1(2dλ)
即，两个间隔为 d d d的天线可提供的最大视角为
θ m a x = s i n − 1 ( λ 2 d ) \theta_{max}=sin^{-1}(\frac{\lambda}{2d}) θmax=sin−1(2dλ)
当两个天线之间的间隔 d = λ / 2 d=\lambda/2 d=λ/2，会导致±90°的最大角视场。

4.2 角度分辨率

角度分辨率（ θ r e s \theta_{res} θres）是两个对象在角度-FFT中作为单独的峰值出现的最小角度分离。
Δ ω = 2 π d λ ( s i n ( θ + Δ θ ) − s i n ( θ ) ) = 2 π d λ c o s ( θ ) Δ θ \Delta \omega=\frac{2\pi d}{\lambda}(sin(\theta+\Delta \theta)-sin(\theta))=\frac{2\pi d}{\lambda}cos(\theta)\Delta \theta Δω=λ2πd(sin(θ+Δθ)−sin(θ))=λ2πdcos(θ)Δθ
又 Δ ω > 2 π N \Delta \omega>\frac{2\pi}{N} Δω>N2π，即
2 π d λ c o s ( θ ) Δ θ > 2 π N \frac{2\pi d}{\lambda}cos(\theta)\Delta \theta>\frac{2\pi}{N} λ2πdcos(θ)Δθ>N2π
⇒ Δ θ > λ N d c o s ( θ ) \Rightarrow \Delta \theta>\frac{\lambda}{Ndcos(\theta)} ⇒Δθ>Ndcos(θ)λ
那么角度分辨率 θ r e s \theta_{res} θres为：
θ r e s = λ N d c o s θ \theta_{res}=\frac{\lambda}{Ndcos\theta} θres=Ndcosθλ

5 参考资料

TI资料：Introduction to mmwave Sensing: FMCW Radars（Sandeep Rao, Texas Instruments）

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