实验环境

项目	配置
系统	Win 10 64bit
软件	Matlab 2018b & Matlab 2019b

BL模型

BL模型在传统MV模型的基础上加入了主观观点，将主观观点和历史数据进行混合，BL模型提供了估计混合后资产均值和方差的分析框架.

	Mean-Variance Optimizaiton	Black-Litterman Approach
Asset Mean	Mean of historical asset returns	Blended asset returns from analysis views and equilibrium returns
Asset Covariance	Covariance of historical asset returns	Covariance of historical asset returns + Estimation uncertainty of the blended asset returns

在BL模型中，混合后的期望 μ \mu μ和方差 Σ \Sigma Σ分别为
{ μ = [ p T Ω − 1 p + C − 1 ] − 1 [ p T Ω − 1 q + C − 1 π ] Σ = [ p T Ω − 1 p + C − 1 ] − 1 (1) \left\{ \begin{aligned} &\mu=[p^T\Omega^{-1}p+C^{-1}]^{-1}[p^T\Omega^{-1}q+C^{-1}\pi]\\ &\Sigma=[p^T\Omega^{-1}p+C^{-1}]^{-1} \end{aligned} \right.\tag{1} {μ=[pTΩ−1p+C−1]−1[pTΩ−1q+C−1π]Σ=[pTΩ−1p+C−1]−1(1)
其中 π \pi π表示均衡状态下的收益， C C C表示对先验分布的不确定度， p \pmb{p} ppp为连接矩阵(Pick Matrix)

数据预处理

使用Matlab自带的数据集dowPortfolio.xlsx实验，读入数据，设置列名和benchmark

%% 数据读入和预处理
T = readtable('dowPortfolio.xlsx');
names=["AA", "AIG", "WMT", "MSFT", "BA", "GE", "IBM"];
benchmark="DJI"; % 设置道琼斯指数为benchmark% 数据预览
head(T(:, ['Dates' benchmark names]))

得到预览数据如下

预处理数据

%% 预处理，分离资产组合和benchmark
ret = tick2ret(T(:, 2:end));
asset_ret = ret(:, names);
dj_ret=ret(:, benchmark);
num=size(asset_ret, 2);

观点设置

观点向量 q \pmb{q} qqq表示对市场预期走势的预测，方程如下
{ q = P μ + ε ε ∼ N ( 0 , Ω ) Ω = d i a g ( w 1 , w 2 , … , w v ) \left\{ \begin{aligned} &\pmb{q}=\pmb{P}\mu+\varepsilon\\ &\varepsilon\sim N(0, \Omega)\\ &\Omega=diag(w_1, w_2, \dots, w_v) \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧qqq=PPPμ+εε∼N(0,Ω)Ω=diag(w1,w2,…,wv)
其中 v v v表示观点数量， k k k表示市场上的资产数量， p \pmb{p} ppp是一个 v × k v\times k v×k的矩阵， q \pmb{q} qqq是一个 v × 1 v\times 1 v×1的向量， Ω \Omega Ω是一个 v × v v\times v v×v的对角矩阵（表示观点之间互相独立），并且矩阵 Ω \Omega Ω的结构也可反映分析师对自己观点的不确定程度， Ω \Omega Ω中的元素 w i w_i wi越小，第 i i i个观点的方差越小，即该观点的把握越大.
设市场观点为

AIG公司会得到5%的年收益，不确定性为 1 e − 3 1e^{-3} 1e−3，该观点的不确定程度较高.
WMT会得到3%的年收益，不确定性为 1 e − 3 1e^{-3} 1e−3，该观点的的不确定程度较高.
MSFT的年收益会超过IBM公司5%，不确定性为 1 e − 5 1e^{-5} 1e−5，该观点是一个强确定性观点.

观点生成代码如下

%% 观点生成
v=3; % 观点的数量为3
P=zeros(v, num); % pick matrix
q=zeros(v, 1);
Omega=zeros(v);% view 1: AIG
P(1, names=="AIG")=1;
q(1)=0.05;
Omega(1, 1)=1e-3;% view 2: WMT
P(2, names=="WMT")=1;
q(2)=0.03;
Omega(2, 2)=1e-3;% view 3: MSFT and IBM
P(3, names=="MSFT")=1;
P(3, names=="IBM")=-1;
q(3)=0.05;
Omega(3, 3)=1e-5;

将三种观点试用表格进行可视化得到

%% 可视化观点矩阵
viewTable=array2table([P q diag(Omega)], "VariableNames", [names "ViewReturn" "ViewsUncertainty"])

观点测量口径是年而原始数据为日度数据，需要对数据口径进行统一

%% 数据口径统一
factor=1/252; %设置一年有252个交易日
q=q*factor; % 收益率日度化
Omega=Omega*factor; % 观点矩阵不确定程度日度化

从历史数据中估计方差-协方差矩阵

%% 估计方差协方差矩阵
Sigma=cov(asset_ret.Variables);

定义先验分布的不确定程度

在BL模型中先验不确定矩阵和历史数据计算得到的方差-协方差矩阵是成正比例关系的，比例系数 τ \tau τ一般是一个很小的常数，越小的 τ \tau τ表示对先验分布 μ \mu μ的确信度越高，Litterman 和 He的论文(参考资料 3)中设置 τ = 0.025 \tau=0.025 τ=0.025，还有的作者使用 τ = 1 / n \tau=1/n τ=1/n，其中 n n n表示历史样本点的数量.

%% 对先验分布的不确定程度C
tau=1/size(asset_ret.Variables, 1);
C=tau*Sigma;

市场隐含均衡收益率

当不存在任何观点时，市场的隐含均衡收益率很可能和同目标函数的均衡优化组合收益率相同，实际上，这可以是任意在没有观点时的最优组合，比如benchmark，本例中使用线性回归的方法找到追踪道琼斯指数的组合. 函数findMarketPortfolioAndImpliedReturn输入数据为历史资产收益率和benchmark收益率，输出为市场组合以及相应的隐含回报率implied returns.

[wtsMarket, PI]=findMarketPortfolioAndImpliedReturn(asset_ret.Variables, dj_ret.Variables);

计算函数实现

市场隐含收益率通过逆优化(reverse optimization)方法实现，设置无风险利率(risk-free rate)为0，在CARA效用函数下的优化目标函数为
arg max ⁡ w w T μ − δ 2 w T Σ w \argmax_{w} w^T\mu-\frac{\delta}{2}w^T\Sigma w wargmaxwTμ−2δwTΣw
其中 w w w表示 n n n维组合权重向量， μ \mu μ表示 n n n维期望收益率向量， Σ \Sigma Σ是 N × N N\times N N×N的方差-协方差矩阵， δ > 0 \delta>0 δ>0表示风险回避因子，在无约束情况下的解析解为
w = 1 δ Σ − 1 μ w=\frac{1}{\delta}\Sigma^{-1}\mu w=δ1Σ−1μ
所以得到市场组合隐含收益率为
π = δ Σ w m k t (2) \pi=\delta\Sigma w_{mkt}\tag{2} π=δΣwmkt(2)
考虑资产约束等情况的市场隐含收益率的分析见Herold的论文(参考资料 4), 对方程 ( 2 ) (2) (2)两侧同时左乘 w m k t T w_{mkt}^T wmktT，移项可得
δ = w m k t T π w m k t T Σ w m k t = S R σ m \delta=\frac{w_{mkt}^T\pi}{w_{mkt}^T\Sigma w_{mkt}}=\frac{SR}{\sigma_m} δ=wmktTΣwmktwmktTπ=σmSR
计算函数如下

%% 计算市场隐含收益率的接口
function [wtsMarket, PI]=findMarketPortfolioAndImpliedReturn(asset_ret,  ben_ret)
Sigma=cov(asset_ret);
n=size(asset_ret, 2);
LB=zeros(1, n);
Aeq=ones(1, n);
Beq=1;
opts=optimoptions('lsqlin', 'Algorithm', 'interior-point', 'Display', 'off');
wtsMarket=lsqlin(asset_ret, ben_ret, [], [], Aeq, Beq, LB, [], [], opts);
SR=mean(ben_ret)/std(ben_ret);
delta=SR/sqrt(wtsMarket'*Sigma*wtsMarket);
PI=delta*Sigma*wtsMarket;
end

后验均值和方差

根据BL公式计 ( 1 ) (1) (1)算混合均值和方差

%% 混合均值和方差
mu_bl=(P'*(Omega\P)+inv(C))\(C\PI+P'*(Omega\q));
cov_bl=inv(P'*(Omega\P)+inv(C));

数表显示结果如下

%% 显示结果
table(names', PI/factor, mu_bl/factor, 'VariableNames', ["Asset_Name", "Prior_Belief_of_ER", "BL_Blended_ER"])

可以发现在后验均值中，MSFT的期望收益率超过IBM大约5%，反映了观点矩阵发生了作用.

在MV框架下求解BL模型

将后验均值和方差代入到MV框架中求解得到BL模型组合权重

%% MV框架下模型求解
% MV模型
port = Portfolio('NumAssets', num, 'lb', 0, 'budget', 1, 'Name', 'Mean Variance');
port = setAssetMoments(port, mean(asset_ret.Variables), Sigma);
wts=estimateMaxSharpeRatio(port); % 目标函数为求解最大Sharpe Ratio% BL模型
portBL = Portfolio('NumAssets', num, 'lb', 0, 'budget', 1, 'Name', 'BL Mean Variance');
portBL = setAssetMoments(portBL, mu_bl, Sigma+cov_bl);
wtsBL=estimateMaxSharpeRatio(portBL); % 目标函数为求解最大Sharpe Ratio

可以发现，在BL模型中，权重不再出现大量集中的情况，分布的相对比较均匀.

%% 打表
table(names', wts, wtsBL, 'VariableNames', ["AssetName", "MV", "MV_BL"])

模型整体结构图如下(图片截取自Matlab官方网站)

代码下载

Black-Litterman model matlab code

参考资料

1.Black-Litterman Portfolio Optimization
2.on the bayesian interpretation of Black Litterman
3.the intuition behind blacklitterman model portfolios
4.Computing implied returns in a meaningful way

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