洛谷——前缀和与差分
前缀和与差分
文章目录
- 前缀和与差分
- 应用总结
- 前缀和
- 截断数组
- 思路
- 代码
- 最大加权矩形
- 题目描述
- 输入格式
- 输出格式
- 样例 #1
- 样例输入 #1
- 样例输出 #1
- 提示
- 思路
- 代码
- 差分
- 海底高铁
- 题目描述
- 输入格式
- 输出格式
- 样例 #1
- 样例输入 #1
- 样例输出 #1
- 提示
- 思路
- 代码
- 改变数组元素
- 思路
- 代码
应用总结
前缀和用来查询一段区间的和。
具体应用有求最大子段和，求二维矩阵规定长度的子矩阵和，对于没有规定具体长度的子矩阵和可以通过前缀和压缩差分
对一段区间的操作，转换为对首尾差值的加减。
应用于对一段区间整体操作，与前缀和相结合输出结果。
前缀和
截断数组
给定一个长度为 n
的数组 a1,a2,…,an
。
现在，要将该数组从中间截断，得到三个非空子数组。
要求，三个子数组内各元素之和都相等。
请问，共有多少种不同的截断方法？
输入格式
第一行包含整数 n
。
第二行包含 n
个整数 a1,a2,…,an
。
输出格式
输出一个整数，表示截断方法数量。
数据范围
前六个测试点满足 1≤n≤10
。
所有测试点满足 1≤n≤105
，−10000≤ai≤10000
。
输入样例1：
4
1 2 3 3
输出样例1：
1
输入样例2：
5
1 2 3 4 5
输出样例2：
0
输入样例3：
2
0 0
输出样例3：
0
思路
将数组分为等和的三段，对应于前缀和就是，找到公差设为 a v e ave ave为总和三分之一的前缀和数组等差数列。
公差相等，三段前缀和的特征为第一段为 a v e ave ave，第二段为 2 a v e 2ave 2ave，第三段为 3 a v e 3ave 3ave。记录所有可能第一段的个数，当遍历到可能第二段时，用第一段数量更新数量，因为第一段和第二段确定后，第三段也相应确定，所以第三段可以不管他。
代码
N = 100010a = [0] * N
n = int(input())a[1 : n + 1] = list(map(int, input().split()))for i in range(1, n + 1) : # 计算前缀和a[i] += a[i - 1]if a[n] % 3 or n < 3 : # 当元素个数小于3或者和不是3的倍数时肯定无法分组print(0)
else :ave = a[n] // 3 # 公差ans, cnt = 0, 0for i in range(2, n) :if a[i - 1] == ave : cnt += 1 # 记录第一段个数if a[i] == 2 * ave : ans += cnt # 遇见每个第二段时，都能确定分段方法print(ans)
最大加权矩形
题目描述
为了更好的备战 NOIP2013，电脑组的几个女孩子 LYQ,ZSC,ZHQ 认为，我们不光需要机房，我们还需要运动，于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地，听说她们都是电脑组的高手，校长没有马上答应他们，而是先给她们出了一道数学题，并且告诉她们：你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。
校长先给他们一个 n × n n\times n n×n 矩阵。要求矩阵中最大加权矩形，即矩阵的每一个元素都有一权值，权值定义在整数集上。从中找一矩形，矩形大小无限制，是其中包含的所有元素的和最大 。矩阵的每个元素属于 [ − 127 , 127 ] [-127,127] [−127,127] ,例如
0 –2 –7 0 9 2 –6 2
-4 1 –4 1
-1 8 0 –2
在左下角：
9 2
-4 1
-1 8
和为 15 15 15。
几个女孩子有点犯难了，于是就找到了电脑组精打细算的 HZH，TZY 小朋友帮忙计算，但是遗憾的是他们的答案都不一样，涉及土地的事情我们可不能含糊，你能帮忙计算出校长所给的矩形中加权和最大的矩形吗？
输入格式
第一行： n n n，接下来是 n n n 行 n n n 列的矩阵。
输出格式
最大矩形（子矩阵）的和。
样例 #1
样例输入 #1
4
0 -2 -7 09 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
样例输出 #1
15
提示
1 ≤ n ≤ 120 1 \leq n\le 120 1≤n≤120
思路
求最大子矩阵和，让人想到了最大子段和，然而矩阵是在二维进行操作。因此需要将矩阵进行压缩，我们选择对行进行压缩，对连续的行之间可以看成是一行，通过组合的形式可以考虑到所有情况。组合通过前缀和来进行实现。
代码
N = 130
a = [[0] * N for _ in range(N)]n = int(input())for i in range(1, n + 1) :a[i][1 : n + 1] = list(map(int, input().split()))# 计算二维前缀和
for i in range(1, n + 1) :for j in range(1, n + 1) :a[i][j] += a[i - 1][j] + a[i][j - 1] -a[i - 1][j - 1]
# 进行矩阵压缩和求最大子段和
ans = -1000010
for i in range(1, n + 1) :for j in range(1, i + 1) : # 从包含1行到包含i行f = [0] * (n + 1)minn = 0for k in range(1, n + 1) :f[k] = a[i][k] - a[i - j][k]ans = max(ans, f[k] - minn)minn = min(minn, f[k])
print(ans)
差分
海底高铁
题目描述
该铁路经过 N N N 个城市，每个城市都有一个站。不过，由于各个城市之间不能协调好，于是乘车每经过两个相邻的城市之间（方向不限），必须单独购买这一小段的车票。第 i i i 段铁路连接了城市 i i i 和城市 i + 1 ( 1 ≤ i < N ) i+1(1\leq i<N) i+1(1≤i<N)。如果搭乘的比较远，需要购买多张车票。第 i i i 段铁路购买纸质单程票需要 A i A_i Ai 博艾元。
虽然一些事情没有协调好，各段铁路公司也为了方便乘客，推出了 IC 卡。对于第 i i i 段铁路，需要花 C i C_i Ci 博艾元的工本费购买一张 IC 卡，然后乘坐这段铁路一次就只要扣 B i ( B i < A i ) B_i(B_i<A_i) Bi(Bi<Ai) 元。IC 卡可以提前购买，有钱就可以从网上买得到，而不需要亲自去对应的城市购买。工本费不能退，也不能购买车票。每张卡都可以充值任意数额。对于第 i i i 段铁路的 IC 卡，无法乘坐别的铁路的车。
Uim 现在需要出差，要去 M M M 个城市，从城市 P 1 P_1 P1 出发分别按照 P 1 , P 2 , P 3 , ⋯ , P M P_1,P_2,P_3,\cdots,P_M P1,P2,P3,⋯,PM 的顺序访问各个城市，可能会多次访问一个城市，且相邻访问的城市位置不一定相邻，而且不会是同一个城市。
现在他希望知道，出差结束后，至少会花掉多少的钱，包括购买纸质车票、买卡和充值的总费用。
输入格式
第一行两个整数， N , M N,M N,M。
接下来一行， M M M 个数字，表示 P i P_i Pi。
接下来 N − 1 N-1 N−1 行，表示第 i i i 段铁路的 A i , B i , C i A_i,B_i,C_i Ai,Bi,Ci。
输出格式
一个整数，表示最少花费
样例 #1
样例输入 #1
9 10
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3
200 100 50
300 299 100
500 200 500
345 234 123
100 50 100
600 100 1
450 400 80
2 1 10
样例输出 #1
6394
提示
2 2 2 到 3 3 3 以及 8 8 8 到 9 9 9 买票，其余买卡。
对于 30 % 30\% 30% 数据 M = 2 M=2 M=2。
对于另外 30 % 30\% 30% 数据 N ≤ 1000 ， M ≤ 1000 N\leq1000，M\leq1000 N≤1000，M≤1000。
对于 100 % 100\% 100% 的数据 M , N ≤ 1 0 5 ， A i , B i , C i ≤ 1 0 5 M,N\leq 10^5，A_i,B_i,C_i\le10^5 M,N≤105，Ai,Bi,Ci≤105。
思路
由于每个城市只有一段路可以到达，而每段路都需要买相应的车票或者使用IC卡。每段路互不相干，这样对于费用的计算只需要知道每一段路经过次数。由于出差每次访问城市可能不是相邻的，所以对于每次的访问需要改变所有途经的路径，这就可以使用差分来记录了。
代码
N = 100010
a = [0] * N
f = [0] * N
n, m = map(int, input().split())a[1 : m + 1] = list(map(int, input().split()))# 计算差分,路径按照小的城市号规定
for i in range(2, m + 1) :x, y = a[i - 1], a[i]f[min(x, y)] += 1f[max(x, y)] -= 1
# 计算前缀和
for i in range(1, n) :f[i] += f[i - 1]
res = 0
for i in range(1, n) :x, y, z = map(int, input().split())res += min(x * f[i], z + y * f[i])
print(res)
改变数组元素
给定一个空数组 V
和一个整数数组 a1,a2,…,an
。
现在要对数组 V
进行 n
次操作。
第 i
次操作的具体流程如下：
从数组 V
尾部插入整数 0
。
将位于数组 V
末尾的 ai
个元素都变为 1
（已经是 1
的不予理会）。
注意：
ai
可能为 0
，即不做任何改变。
ai
可能大于目前数组 V
所包含的元素个数，此时视为将数组内所有元素变为 1
。
请你输出所有操作完成后的数组 V
。
输入格式
第一行包含整数 T
，表示共有 T
组测试数据。
每组数据第一行包含整数 n
。
第二行包含 n
个整数 a1,a2,…,an
。
输出格式
每组数据输出一行结果，表示所有操作完成后的数组 V
，数组内元素之间用空格隔开。
数据范围
1≤T≤20000
,
1≤n≤2×105
,
0≤ai≤n
,
保证一个测试点内所有 n
的和不超过 2×105
。
输入样例：
3
6
0 3 0 0 1 3
10
0 0 0 1 0 5 0 0 0 2
3
0 0 0
输出样例：
1 1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
0 0 0
思路
每次操作都是将一段区间进行操作，很显然用差分的做法。在进行前缀和后只需要判断是否为0，即可判断是否被操作过。
代码
'''
0代表未操作
其他数字ai代表将本位置起的ai个元素全部变为1
差分是对一段区间进行一次性操作，我们只需要统一区间操作的情况下，
进行操作（比如如果有操作则统一+1）,那么只要差分后的前缀和不是0则证明被变为1过
'''T = int(input())for _ in range(T) :n = int(input())a = [0] * (n + 2)f = [0] * (n + 2)f[1 : n + 1] = list(map(int, input().split()))for i in range(1, n + 1) :if f[i] :if f[i] >= i :a[1] += 1else :a[i - f[i] + 1] += 1a[i + 1] -= 1for i in range(1, n + 1) :a[i] += a[i - 1]if a[i] != 0 :print(1, end = " ")else : print(0, end = " ")print()洛谷——前缀和与差分相关推荐
- 洛谷P2357 守墓人（差分+树状数组）
原题链接 什么是差分? 7 8 6 5 8 18 20 35 //原数组 7 1 -2 -1 3 10 2 15 //差分数组 差分数组的前缀sum[i]即原数组的a[i] 我们构建两个树状数组 su ...
- 【题解】洛谷P3084 照片（差分约束）
https://www.luogu.org/blog/user9643/solution-p3084 注意用优先队列..还有判断负环
- 信奥中的数学：前缀和与差分、大整数开方技巧
[算法2-1]前缀和与差分 [算法2-1]前缀和与差分 - 题单 - 洛谷 前缀和与差分 图文并茂 超详细整理(全网最通俗易懂) 前缀和与差分 图文并茂 超详细整理(全网最通俗易懂)_林深不见鹿 的博 ...
- 洛谷--橙色百道DP总结
最近刷完了洛谷橙色DP大约一百道,算是发现了一些套路,就部分题目做一些总结. 大概分为三类 第一类,九大背包及其衍生 第二类,经典DP模型,如LCS,LIS等 第三类,实际问题背景的普通,环形,树上D ...
- 洛谷[P1719 最大加权矩形] {前缀和与差分} 奋斗的珂珂~
洛谷[P1719 最大加权矩形] {前缀和与差分} 题目描述 为了更好的备战NOIP2013,电脑组的几个女孩子LYQ,ZSC,ZHQ认为,我们不光需要机房,我们还需要运动,于是就决定找校长申请一块电 ...
- 题161.洛谷P3131 前缀和与差分-Subsequences Summing to Sevens S
文章目录 题161.洛谷P3131 前缀和与差分-Subsequences Summing to Sevens S 一.题目 二.题解 题161.洛谷P3131 前缀和与差分-Subsequences ...
- （差分）洛谷P4231 三步必杀
洛谷P4231 三步必杀 三步必杀 题目背景 (三)旧都 离开狭窄的洞穴,眼前豁然开朗. 天空飘着不寻常的雪花. 一反之前的幽闭,现在面对的,是繁华的街市,可以听见酒碗碰撞的声音. 这是由被人们厌恶的 ...
- 洛谷 P3258 [JLOI2014]松鼠的新家 树上差分
缘起 [1]中我们学习了树上差分,并且a了一个裸的点差分. 现在继续树上差分~ 洛谷 P3258 [JLOI2014]松鼠的新家 分析 题目描述 松鼠的新家是一棵树,前几天刚刚装修了新家,新家有n个房 ...
- 【LOJ#2236】【洛谷P3258】松鼠的新家【LCA】【树上差分】
题目大意: 题目链接: 洛谷:https://www.luogu.org/problem/P3258 LOJ:https://loj.ac/problem/2236 给出一棵树以及 n n n个点走的 ...
最新文章
- 我竟然用OpenCV实现了卡尔曼滤波
- web.config中配置Session
- Linux下NFS(网络文件系统)的建立与配置方法
- spring学习（27）:通过setter依赖注入
- 重装jdk后运行java程序出现Error: could not open `C:\Program Files\Java\jre68\lib\amd64\jvm.cfg'的解决办法
- 阿里RDS开发专家解析MySQL各版本并行复制
- POJ 2480 Longge#39;s problem 积性函数
- ajax提交表单序列化（serialize()）数据
- iOS和安卓各自优缺点和测试时区别
- 华为云学院给大学生的献礼：轻松玩转微认证
- 短视频“音频化”，音乐“视频化”
- on1 photo raw 2020中文版（RAW图像处理） v14.5.1.9231绿色便携版
- mysql workbench pk_mysql workbench建表时PK,NN,UQ,BIN,UN,ZF,AI_MySQL - numeric
- 如何修改PPT文档的编辑版式
- 第一次面试（厦门西联电子）
- vmware虚拟机镜像制作成QCOW2
- 女子租房有钱交房租 男中介竟然不收她钱_无界财富
- 【直播预告】流行度偏差如何利用？探索解耦域适应无偏召回模型
- VB.NET生成随机串或随机数字的方法
- ARM TTBR0TTBR1寄存器与ARM32页表复制。TTBR0TTBR1两寄存器在ARM,ARM32，ARM64linux中分页管理页表基地址的存放不同，CP15 CP2控制TTBR01附加协处理